INFO EXERCICES DE BAC. DE GEOMETRIE DANS L'ESPACE MAI 2011 TS
EXERCICE 1
Dans l'espace muni d'un repère orthonormal ( O, vect( i ) , vect( j ) ) on considère les points :
A( 1 ; 1 ; 0 ) B( 1 ; 2 ; 1 ) C( 3 ; - 1 ; 2 ) .
1.a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
Réponse.
On a le vecteur vect( AB ) de coordonnées ( 0 ; 1 ; 1 ) et le vecteur
vect( AC ) de coordonnées ( 2 ; - 2 ; 2 ).
Ils ne sont pas nuls.
Soit a un réel .
L'égalité vect( AB ) = a vect( AC ) s'écrit:
0 = 2 a a = 0
1 = - 2 a c-à-d a = -1 /2
1 = 2 a a = 1 / 2
Il y a une contradiction.
Il n'est pas possible de trouver un réel a tel que vect( AB ) = a vect( AC ).
Conclusion : Les vecteurs vect( AB ) et vect( AC) ne sont pas colinéaires . A, B,C déterminent bien un plan.
b.Démontrer que le plan ( ABC ) a pour équation cartésienne :
2 x + y - z - 3 = 0
Réponse:
Il suffit de vérifier que les points A , B , C ont leurs coordonnées qui vérifient l'équation du plan
( ABC ).
On a bien : 2 ( 1 ) + 1 - 0 - 3 = 0
2 ( 1 ) + 2 - 1 - 3 = 0
2 ( 3 ) - 1- 2 - 3 = 0
Conclusion : Le plan ( ABC ) a pour équation 2 x + y - z - 3 = 0
2. On considère les plans ( P ) et ( Q ) d'équations respectives:
x + 2 y - z - 4 = 0 et 2 x + 3 y - 2 z - 5 = 0.
Démontrer que l'intersection des plans ( P ) et ( Q ) est une droite ( D ),
dont une représentation paramétrique est :
x = - 2 + t
y = 3
z = t avec t dans IR
Réponse:
• Tout point M( - 2 + t ; 3 ; t ) de la droite D a ses coordonnées
qui vérifient les équations des plans P et Q.
En effet :
- 2 + t + 2 ( 3 ) - t - 4 = 0 et 2 ( - 2 + t ) + 3 ( 3 ) - 2 t - 5 = 0
car - 2 + 2 ( 3 ) - 4 = 0 et 2( - 2 ) + 3 ( 3 ) - 2 ( 0 ) - 5 = 0
Ainsi la droite est dans les plans P et Q.
• De plus les deux plans P et Q sont sécants suivant une droite.
En effe
Le vecteur vect( n ) de coordonnées ( 1 ; 2 ; - 1 ) est un vecteur normal au plan P
Le vecteur vect ( n ' ) de coordonnées ( 2 ; 3 ; - 2) est un vecteur normal au plan Q.
Soit a un réel.
La relation vect( n ) = a vect( n ' )
- 1 = - 2 a a = 1 / 2 Contradiction
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
Conclusion : P ∩ Q = D
3. Quelle est l'intersection des trois plans ( ABC ) , ( P ) et ( Q ) ?
Réponse :
Il suffit de déterminer ( ABC ) ∩ D.
Pour cherchons t dans IR tel que 2( - 2 + t ) + 3 - t - 3 = 0
c-à-d t - 4 = 0
c-à-d t = 4
Reportons dans la représentation paramétrique de D.
x = - 2 + 4 = 2
y = 3
z = 4
Conclusion : Les plans ( ABC ) , P , Q se coupent au point F ( 2 ; 3 ; 4 )
4. Dans cette question toute trace de recherche , même incomplète,
sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer la distance du point A à la droite ( D ).
Réponse:
Soit le point M( - 2 + t ; 3 ; t ) de D. On a le point A ( 1 ; 1 ; 0 ) .
Le vecteur vec( u ) de coordonnées ( 1 ; 0 ; 3 ) est un vecteur directeur de D.
Les coordonnées du vecteur vect( AM ) sont :
( - 3 + t ; 2 ; t )
Imposons : vect( AM ). vect( u ) = 0
c-à-d ( - 3 + t ) ( 1 ) + 2 ( 0 ) + t ( 1 ) = 0
c-à-d 2 t - 3 = 0
c-à-d t = 3 / 2
Le vecteur vect (AM ) a pour norme √( ( - 3 + t )² + 2 ² + t² )
Pour t = 1,5 cette norme est la distance recherchée .
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Cherchons le réel t tels que vect( AM )
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