Devoir surveillé BTS1 B Vendredi 10 avril 2009
EXERCICE 1
1. Résoudre dans IR3 le système linéaire suivant.
| 2 x + y + z | = 0 |
| 5 y - 7 z | = 8 |
| 3 z | = 3 |
2. Triangulariser le système puis le résoudre.
| x + 2 y + z | = 0 |
| x + y + 4 z | = 4 |
| x- y - z | = 1 |
--------------------------------------------------------------------------------------------
EXERCICE 2
Soit les matrices :
/ 0
1
-1 \
M =
| -3
4
-3 |
\ -1
1
0 /
| / 1 | 0 | 0 \ | |
| I = | | 0 | 1 | 0 | |
| \ 0 | 0 | 1 / |
1. Calculer M2 et M3 .
2. Déterminer les réels a et b tels que M2 = a M + b I .
EXERCICE 3
Le tableau ci-dessous est extrait d'une grille présentant les différents points d'une ville reliés par
des lignes de transport en commun avec la durée des trajets en minutes .
A ce tableau est associé un graphe dont les sommets sont A , B , C , D , F et G .
→
A
B
C
D
E
F
G
A
8
3
B
4
C
6
4
D
10
9
E
F
3
G
7
Par exemple, dans le tableau, la cellule contenant le nombre 9 correspond à la durée ( 9 minutes)
du trajet du bus reliant le point de départ D au point d'arrivée C.
1.Réaliser le tableau des prédécesseurs de ce graphe, et déterminer le niveau de chacun des sommets.
| PREDECESSEURS | SOMMETS | NIVEAUX |
| A | ||
| B | ||
| C | ||
| D | ||
| E | ||
| F | ||
| G |
2. Dessiner le graphe en ordonnant les sommets par niveaux et en marquant la longueur de chaque arc.
3. Déterminer le ou les trajets de durée minimale permettant d'aller de D à E.
( On détaillera la méthode utilisée.)