INFO DS 10 AVRIL 09 BTS1A

 INFO    SUR LE DEVOIR SURVEILLE       BTS1 A         Vendredi 10 avril 2009              

       EXERCICE 1

        1.  Résoudre dans IR³   le système  linéaire suivant.

     Le système est déjà triangulaire. 

         L₃    donne    3 z = 3

                     c-à-d  z = 1

        Puis  L₂   donne   5 y = 8 + 7 z =  15

                          c-à-d  y = 3

        Enfin  L₁   donne 2 x = - y - z = - 3 - 1

                       c-à-d     x = 2

        Conclusion : S = { ( - 2 , 3, 1 ) }

        2.  Triangulariser le système puis le résoudre.

  Considérons         L₃   ←   L₂ -   L₁           et           L₃   ←  L₃  -  L₁             

 Le système s'écrit :       

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      EXERCICE 2             

         Soit les matrices : 

   1. Calculer M² et M³ .       

   2. Déterminer les réels a et b tels que  M² = a M + b I .

 On a :

et

    Ainsi :    M² = a M + b I .

   entraîne   :  b = - 2     et    a = 3   en  considérant  les deux premiers termes

   de la première ligne.

   Conclusion :  a = 3       b = -  2     

   3. Exprimer alors  M³  en fonction de M et I , puis écrire  M³  sous la forme d'une

       matrice à trois lignes et à trois colonnes.

        On a:    M²  =    3 M - 2  I .

                   c-à-d    M  × M² =   M  × (    3 M -  2  I   )

         Conclusion :   M³   = 3  M²  - 2 M × I     

                   c-a-d     M³   = 3  ( 3 M - 2  I   )  - 2 M × I 

                  c-à-d      M³   =   9 M -  6  I - 2 M  

            Conclusion:       M³   =   7 M -  6  I      

       Comparer avec le résultat obtenu à la première question.

     On obtient :

    4. a . Déduire de l'égalité trouvée à la deuxième question que l'on peut  écrire

                   I = ( 1 / 2 ) M × ( 3 I - M  )

          L'égalité  M² = 3 M - 2  I .

          c-à-d    2  I  = M × ( 3 I - M )

 Conclusion :      I = ( 1 / 2 ) M × ( 3 I - M  )

          b . En déduire une matrice P telle que M × P = I.

              L'égalité   I = ( 1 / 2 ) M × ( 3 I - M  )

               s'écrit :   I = M × ( 1 / 2 ) ( 3 I - M  )

              Ainsi on peut considérer  P = ( 1 / 2 ) ( 3 I - M  )

                  Conclusion :     P = ( 3 / 2 ) I - ( 1 / 2 ) M   

         c. Ecrire P sous la forme d'une matrice à trois lignes et trois colonnes.

          On a :

         d. Calculer P × M .

        On obtient :   P × M  = I

        (    Comme M × P = I = P× M   la matrice P n'est autre que l'inverse de la matrice M.

               M ^{- 1}   = P .

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      EXERCICE 3

           On considère le graphe défini par le tableau suivant: 

        1. Déterminer la matrice adjacente M de ce graphe .

        2. a. Calculer la matrice M² = M ×M   où × représente la multiplication des matrices.    

            b. Utiliser le résultat précédent pour calculer le nombre total de chemins de longueur 2

                du graphe puis le nombre de chemins de longueur 2 partant de A.

              La ligne  de A  est    :             2      1     2      1

                2 + 1 + 2 + 1 = 6

               Il y a donc 6 chemins de longueur 2 qui partent de A.

                Citer tous les chemins de longueur 2 partant de A.

               AAA            ABA             ( De A à A )

               AAB                                ( De A à B )

               ABC       ADC                   ( De A à C )

              AAD                                  ( De A à D )

       3. Citer tous les chemins de longueur  3 partant de D.

           (  On pourra utiliser M³  . )

           On a :

                1 + 1 + 0 + 1 = 3

          Il y a donc 3 chemins de longueur 3 partant de D.

                     DCAA               DCAB       DCAD 

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  EXERCICE 4    

          Les questions 1) et 2) peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

     1. On considère l'ensemble E = { x₁  , x₂  , x₃  } et l'application f de E dans E définie par

         f(  x₁  ) =  x₂  

         f( x₂  ) =  x₃  

         f(  x₃   ) =  x₂  

         a. Déterminer les antécendents  par f de chacun des éléments de l'ensemble E.

           x₁   et  x₃   sont les antécédents de x₂ .

           x₂   est l'antécédent de x₃  

        b. L'application f est-elle une injection de E dans E ? ( Justifier ).

             NON.   x₁   et  x₃   bien que différents ont la même image  x₂  .

             f ne conserve pas la distinction.

        c. L'application f est-elle une surjection de E sur E ? ( Justifier ).

             NON.   x₁   n'a pas d'antécédent par f.

       2. On considère le graphe orienté G , de sommets x₁  , x₂  et  x₃  , tels que les successeurs

            de x₁  , x₂  , x₃  sont respectivement   f(  x₁  ) ,  f( x₂  ) ,  f(  x₃   ) .

           a. Donner une représentation géométrique de ce graphe.

           b. On note M la matrice d'adjacence de G.  

               On constate que  :

               Expliquer pourquoi la première ligne de M est  0  1  0 .

               Le seul arc d'origine  x₁   est  l'arc (  x₁  , x₂  ).

               On n'a pas les arcs orientés (  x₁  , x₃  ) ni (  x₁  , x₁  ).

          c. On note G ' la fermeture transitive de G.

              On rappelle que G' est le graphe obtenu en conservant les sommets de G

               et en ajoutant , s'ils n'existent pas  dans G, les arcs ( x_i  , x_j  )  lorsqu'il existe un chemin

              d'origine x_i   et  d'extrémité x_j   dans le graphe de G.

              Tracer la représentation géométrique de G' et vérifier que la matrice adjacente M '

               du graphe G'  est :

  Il y a 3 raccourcis dont deux boucles.

   La matrice de la fermeture transitive est donc:

                  d. Calculer les matrices booléennes  M^[2]    et   M^[3]  .  

         Pour trouver  M^[2]    il suffit de considérer la matrice M²

       puis de remplacer les termes non nuls par 1 en laissant les 0.

       Même méthode pour M^[3]  

                      Vérifier que M ' = M (+) M^[2]  (+) M^[3]      ,

                      où (+) représente l'addition booléenne des matrices.

               Conclusion:     On a bien l'égalité. M ' = M (+) M^[2]  (+) M^[3]   

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