TEST BTS1B 21 janvier 2015

                           TEST  BTS 1    Matrices et Graphes     21 janvier 2015

    EXERCICE  1

      1.  Résoudre le système suivant en le triangularisant:

           x + 2 y + 5 z = 8                 L1

           2 x + 5 y + 3 z = 10           L2

           2 x + y − z = 2                    L3

       2.  a. Ecrire sous forme matricielle le système précédent.

            b. Résoudre dans  IR 3  le système précédent à l'aide de la calculatrice.

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    EXERCICE 2

        1. Soit G un graphe orienté de six sommets ABCDEF.

                 On admet que le graphe ne comporte pas de

                 chemin fermé.  Soit M sa matrice d'adjacence.

            a.  Combien de sommets distincts ou confondus faut-il considérer pour

                 donner un chemin de longueur 3 s'il en existe?

            b. Peut-on trouver un chemin de longueur 6 ? Justifier.

                Que peut-on en déduire pour M6   ?

         2. On admet à présent que le graphe G possède les arcs suivants:

              ( A , B ) ; ( A , C ) ; ( C , F ) ; ( C , B ) ; ( B , D ) ; ( D , F ) ; ( E , F ) ; ( E , B )

            a. Donner la matrice M.

            b. Commet peut-on interpréter les colonnes de zéros de M ?

         3. Ce graphe G possède-t-il une boucle?

         4.  Donner le tableau des prédécesseurs et des niveaux de G.

         5. Faire le dessin de G en l'ordonnant suivant les niveaux.

         6.a.Donner les matrices  M2 , M3 , M4  ,  M5  ,  M6  .

             b. Combien de chemins de longueur 4  a-t-on ?

         7. Reproduire le graphe G en mettant cette fois tous les raccourcis en couleur.

         8.  Calculer la somme booléenne :                        

                        Ne4 

         9. On donne à présent les distances suivantes en Km.

               AB = 5     AC = 3    CF = 20   CB = 7     BD 11    DF = 7  EF = 30   EB = 15 

             Donner en le justifiant un chemin de A à F qui soit de plus petite

              distance en Km.

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