INFO DEVOIR 22 mars 2016

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           EXERCICE 2

      1.a. Justifions qu'il existe au moins un couple d'entiers relatifs  ( u , v ) solution tel que 

                    ( E ) :  11 u − 7 v = 5

                 •Première façon:            On a :   PGCD( 11 ,  − 7 ) = 1

                                                             Or  1 divise 5

                        Donc d'après, le cours , l'équation 11 x − 7 y = 5

                       admet au moins un couple ( u , v ) d'entiers relatifs solution.

              • Seconde façon:   D'après le Th de Bezout comme PGCD( 11, − 7 ) = 1

                il existe( au moins ) un couple ( u , v ) d'entiers relatifs telque 11 u   − 7 v = 1

                 Donc  le couple ( 5 u, 5 v ) est une  solution de 11 x   − 7 y = 5

                  Conclusion: L'existence d'au moins une solution est avéré.

   b. Donnons une solution particulière de ( E ).

              Ecrivons l'algorithme d'Euclide  comme pour rechercher PGCD( 11 , 7 ).

                    On a     11 > 7 .

                       11 = 7 × 1 + 4

                      7 = 4  × 1 + 3

                       4 = 3  × 1 + 1

                        3 = 1 × 3 + 0

      d'où             1 =  4  −  3  × 1

       Puis           1 =  4 − (   7 −  4  × 1 )  × 1

       c-à-d          1 =  4  ×  2  −   7  

      Puis             1 = (  11 −  7 × 1   ) ×  2  −   7  

     c-à-d               11 ×  2  −  7  ×  3 =    1   

    En multipliant par 5 il vient:

                                 11 ×  10  −  7  ×  15 =    5  

       Conclusion:  Le couple ( 10 , 15 ) est une solution particulière de ( E ).

      c. Résolvons ( E ).

           Procédons par équivalence logique:

    ( E ) s'écrit

                         T44 1   

         c-à-d

               T45 3   

       c-à-d               

                        T46                              

               Conclusion:   S( E ) = { ( 10 + 7 k , 15 + 11 k ) / k entier relatif }

              d. Déterminons le nombre de points de la droite  ( D ) appartenant à l'ensemble  C

                    et dont les coordonnées sont des nombres entiers.
               
                    On  a :     11 x − 7 y = 5

                                       0 ≤ x ≤ 50  et    0 ≤ y ≤ 50

                  On a donc d'après la résolution de ( E ) précédente:

                                     x = 10 + 7 k  et     y = 15 + 11 k   avec k entier relatif tel que                                           

                                    0 ≤ 10 + 7 k ≤ 50   et        0 ≤ 15 + 11 k  ≤ 50

                  c-à-d    

                             x = 10 + 7 k  et     y = 15 + 11 k   avec k entier relatif tel que                                                        

                                − 10 / 7 ≤  k ≤ 40 / 7   et      − 15 / 11  ≤ k  ≤ 35 / 11

    c-à-d       comme       − 10 / 7 ≈ − 1,4        40/ 7  ≈ 5,7     − 15 / 11  ≈ − 1,36     35 / 11  ≈ 3, 18 

                                x = 10 + 7 k    et     y = 15 + 11 k   avec k entier relatif tel que 

                                    k = − 1 ou  k = 0 ou k = 1 ou k = 2  ou k= 3  

         Conclusion:   les couples sont : 

                       ( 3 , 4 )    ( 10 ,  15 )  ,   ( 17 , 26  )    ,   (  24 ,  37  )     ,   ( 31   , 48  )               

             2. a. Démontrons que si  le couple ( x , y ) d'entiers relatifs est solution de ( F ) : 11 x2  −  7 y2  =  5

                      alors  x2  ≡  2 y2 [ 5 ].

                        Soit  11 x2 − 7 y2 = 5

                         alors     11 x2     = 7 y2  +  5

                         d'où      11 x2    ≡ 7 y2     [   5  ]

                          c-à-d    2 × 5 x2    +  x2   ≡  5 y2    + 2  y2    [   5  ]

                         c-à-d       x2   ≡  2 y2    [   5  ]

                     Conclusion: l'implication est avérée.

              b. Soient x et y des entiers relatifs.

                   Complétons les tableaux. 

Modulo 5 , x est congru à    0 1 2 3 4
Modulo 5 ,   x2  est congru à   0 1 4 4 1

    et 

Modulo 5 , y est congru à 0 1 2 3 4
Modulo 5 ,  2 y2  est congru à   0 2 3 3 2

          Donnons les valeurs possibles des restes possibles dans la division

           euclidienne de x2 et 2 y2 par 5  .

         Pour x2 ce sont  0 ;1 ; 4

        Pour    2 y2    ce sont      0 ; 2 ; 3

        Ainsi ce sont respectivement pour   x2  et  2 y2  :   0 et 0   , 1 et 2  , 4 et 3 , 4 et 3 , 1 et 2

        c. Déduisons que si le couple ( x , y ) est solution de ( F ) alors x et y sont des multiples de 5.          

                Soit ( x , y ) un couple d'entiers solution de ( F ).

               Alors    x2   ≡  2 y2    [   5  ] 

               Or d'après la question précédente, dans ce cas , le reste de la division de   x2  

                par 5 et le reste de la division de  2 y2  par 5 ne peuvent être que 0.

               Cela correspond à 0 pour  le reste de la division de x par 5 et aussi pour le reste

               de la division de y par 5.

               c-à-d  cela correspond au cas où x et y sont divisibles par 5

               c-à-d  x et y multiples de 5.

                 Conclusion : Le résultat est avéré.         

        3. Montrons que si x et y sont des multiples de 5 alors le couple ( x , y) 

            n'est pas solution de ( F ) .

              Supposons qu'il existe deux entiers relatifs k et k  ' tels que:

                      x= 5 k   et   y = 5 k '

             alors                x 2   =    25 k2          et     y 2   = 25 k ' 2

             D'où     :      11 x2 − 7 y2   =  11 ×  25 k2   −  7   ×  25 k ' 2   

           c-à-d                  11 x2 − 7 y2 =  25 ( 11   ×  k2     −  7   ×  k ' 2    )

          alors                  11 x2 − 7 y2   = 5  n'est possible que si  25   divise  divise 5

                          Ce qui  n'est  pas possible car 25 ne divise pas 5 .

               Conclusion: l'implication  est montrée.

                Conséquence:  ( F ) n'a pas de solution.

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