Cours INTEGRATION: Partie I TS

                                    Cours:      INTEGRATION :   PARTIE 1      TS              10 Avril 2012

             Plan de la leçon.

      I. Généralités. Interprétation graphique.

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           I. Généralités.Interprétation graphique.

            Soit ( O; vect(i), vect(j) ) un repère au moins orthogonal.

            L'aire du rectangle dont les côté sont [OI] et [OJ] avec 

            les points I( 1 ; 0)  et J( 0 ; 1) est d'aire l'UNITE D'AIRE.

                    ( u.a )

               fig-1-u-a-cal-intg.jpg

             a. Soit une fonction f définie et continue sur l'intervalle I.

                  Soit a  et b dans I  avec a ≤ b

                  Soit c et d dans I avec  c ≤ d

                  • •  Soit  f ≥ 0 sur [a , b ]

                        L'aire sous la courbe de f  sur l'intervalle [a , b ]

                        fig-1-cal-intg-1.jpg

                        ( voir le domaine D sur le graphique )

                         est l'aire du domaine D .

                         C'est  << l'intégrale de a à b de la fonction f  >> en u.a.   

                        c-à-d         ∫ab f(x) dx     u.a                

                 • •  Soit  f ≤ 0 sur [c , d ]

                        L'aire du domaine D'  est en u.a

                       fig-3-cal-intg.jpg

                        l'opposé l'intégrale de c à d de la fonction f

                         c-à-d    - ∫cd f(x) dx     u.a      

                         c-à-d   aussi     ∫cd  - f(x) dx     u.a   

                    b. Exemple:

                           Soit ( O; vect(i), vect(j) ) un repère orthogonal du plan. 

                          ( Unités graphiques:   2 cm suivant l'axe des abscisses 

                                                            1 cm suivant l'axe des ordonnées )

                          Soit la fonction affine :   

                                                      f : x → 2 x + 3

                          Soit   a = 1    et    b = 2

                           1. Quelle est l'unité d'aire ( u. a . )  ?

                           2. Trouver l'aire sous la courbe de la fonction f 

                               sur l'intervalle [a,b].

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                    Réponse:

                        fig-4-cal-intg.jpg

                  1. L'unité d'aire u.a.  est:      1 × 2 = 2 cm²   

                      En effet:    2 cm comme unité en abscisse

                                       1 cm comme unité en ordonnée

                  2.  Calcul de l'aire.

                        •La fonction affine f est définie , continue positive sur l'intervalle [1;3].

                          Ainsi l'aire du domaine sous la courbe de f sur [ 1 ; 3 ] est

                                             ∫13  f( x )  dx    u.a

                       •L'aire sous la courbe de f est celle d'un trapèze ABCE rectangle.

                        [  ( AE + BC ) / 2 ] × CE     u.a.

                        Or       AE = 5      BC = 9     CE = 2 

                       Donc:         aire = [( 5 +9 ) / 2 ]×2= 14     u. a

                       comme l'u.a est 2 cm² on a :

                     L'aire sous la courbe de f égale à 28 cm²                     

                         aire =   ∫13 ( 2 x + 3 ) dx    = 28 cm² 

               REMARQUE:

               On peut remarquer que si  F est une fonction définie , dérivable dans 

              l'intervalle [ 1 ; 3 ]  telle que F ' = f   c-à-d  si  F est une primitive de f sur 

              l'intervalle [ 1 ; 3 ] , alors l'aire sous la courbe de f sur [ 1 ; 3 ]

              est:    F( 3 ) - F( 1 )  u.a.

            En effet:

                Soit  la fonction     F : x → x2   + 3x

               La fontion polynôme F est définie et dérivable dans IR.

                                              F ' :  x → 2 x + 3

              Donc      F' = f

              F est ainsi une des primitives de f sur IR.

              F( 3 ) - F( 1 ) =  32   + 3×3  - (  12  + 3 ) = 9  + 9-  4 = 14

            On a bien   F( 3 ) - F( 1 )  u. a.  qui est l'aire du domaine sous la courbe de f 

                 sur [1;3]

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      c.   Avec les mêmes hypothèses que dans le a., l'aire du domaine

           coloré en vert clair ci-dessous

                                        fig-6-cal-intg.jpg

           est :        

                      ∫ab f(x) dx    - ∫cd f(x) dx     u. a.

      d. Propriété .

                     

               Soit f et g deux fonctions définies et continues sur l'intervalle I.

                                 fig-7-cal-intg-1.jpg                   

               Si a et b sont deux réels dans l'intervalle I tels que a ≤ b 

               et  f( x )  ≤  g(x ) pour tout x dans I tel que  a ≤ x ≤ b 

               ALORS l'aire du domaine coloré en vert ci-dessus est :     ∫ab ( gx) - f(x) )dx   u.a.

     e. Remarque:

                Quand une fonction est définie , continue et négative 

               sur un intervalle [a, b] , alors le réel     ∫ab f(x) dx  est négatif.

               Il correspond à une aire algébrique.

                       L'aire ( physique ) du domaine D définie comme 

                      l'ensemble des points M( x , y ) tels que:

                               a ≤ xb  ≤ 

                              f(x) ≤ y     ≤ 0

                                 est   - ∫ab f(x) dx   en u.a.                                

           II. Début . Lien entre la notion d'intégrale et la dérivation.

              1. Autre présentation d'une intégrale .    

                  Soit une fonction définie sur un intervalle I.

                  Soit a et b deux réels de I .

                  Soit F une primitive de f sur I.

                  L'intégrale de a à b de f( x) dx est le réel  F( b ) - F( a ).

                   Il est noté    ∫ab f(x) dx   

              2. Exemple:

                 Calculer l'intégrale    I =  ∫01  exp( 2 x + 1 ) dx        

                              fig-10-cal-intg.jpg

                 Soit la fonction  f : x→ e2 x + 1    .

                 Soit la fonction u: x → 2 x + 1.

                  La fonction u est définie et dérivable dans IR.

                   u ' : x → 2 

                   On a :            f  = ( 1 / 2 ) × u ' eu           sur IR.

                    Or une primitive de u' eu     est     eu    .

                                       ( Rappel:       ( eu  )'    = u ' eu     )

                     Ainsi une primitive de f est donc  F = (1 / 2 ) eu  .           

                   Une primitive de f est:    

                        F : x→  ( 1 / 2 ) e2 x + 1

                   Ainsi :           I  =  F(1 ) - F( 0 ) 

                     Conclusion:         I = ( 1 / 2)   e3  - ( 1 / 2 ) e    

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                                           VOIR  LA SUITE  DE PARTIE II     FEUILLE SUIVANTE

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