DS n° 9 15 mai 2007 Calcul intégral
EXERCICE BAC
On considère la fonction f définie sur [ 0 , + ∞ [ par f( x ) = [ ln ( x + 3 ) ] / (x + 3 ) .
1. Montrer que f est dérivable sur [ 0 , + ∞ [ . Etudier le signe de sa fonction dérivée f ' , sa limite
éventuelle en + ∞ , et dresser le tableau de ses variations.
2. On définit la suite ( un )n≥0 par son terme général un = ∫nn+1 f(x) dx
a. Justifier que , si n ≤ x ≤ n + 1 , alors f( n + 1 ) ≤ f(x ) ≤ f( n )
b. Montrer , sans chercher à calculer un , que , pour tout entier naturel n,
f( n + 1 ) ≤ un ≤ f(n )
c. En déduire que la suite ( un ) est convergente et déterminer sa limite.
3. Soit F la fonction définie sur [ 0 , + ∞ [ par F( x ) =( ln( x + 3 ) )2
a. Justifier la dérivabilité sur [ 0 , + ∞ [ de la fonction F et déterminer , pour tout réel
positif x , le nombre F'( x ).
b. On pose, pour tout entier naturel n , In = ∫0n f(x) dx .
Calculer In .
4.