INFO FEUILLE 1 D'EX : INTEGRATION

                                       FEUILLE D'EXERCICES SUR LE CALCUL INTEGRAL     Avril 2012

    EXERCICE 1

            L'intégrale existe car la fonction f : x → 1 / ( x lnx )  est définie et continue

           dans l'intervalle [ e ; e² ] sachant que la fonction x → x lnx est definie continue

            et non nulle sur  [ e ; e² ]. 

           Notons  I cette intégrale.

            Soit x > 0  

                 ln'(x) = 1 / x 

           Donc on a :    f(x ) = ( 1 / x ) ×( 1 / lnx ) = ln'( x )× ln(x)

           c-à-d          f = ln'  /  ln      c'est de la forme   u' / u.

           Comme sur l'intervalle  [ e ; e² ] la fonction ln est définie dérivable

            et strictement positive , une primitive de la fonction   ln' / ln

           c-à-d de f  est la fonction  ln o ln .

           Donc    I = [  ln(ln(x))  ]_e^e² = ln(ln(e²)) - ln(lne)) =ln( 2 lne) - ln1

                       I = ln 2 + ln ( ln e ) - 0 = ln2  

           Conclusion :   I = ln2        ( environ 0,69)

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          Ce résultat peut être obtenu à la calculatrice TI 84

           Faire:

             Y =          Y1 = 1 / (xln(x))           pour déposer l'expression de notre fonction f 

             2ND  QUIT                                 pour quitter

             MATH 

                        Descendre jusqu'à        fnInt(        à la ligne 9

           ENTER

            Il apparaît à l'écran:      fnInt(

             Appuyer sur     VARS 

             Déplacer le curseur vers la droite sur Y-VARS

              Laisser le curseur sur    1:Function...

               ENTER

             De nouveau ENTER         pour choisir       1:Y1

            Il apparaît à l'écran    fnInt(Y1

             mettre une virgule   ,   puis x ( touche X,T,θ, n  )  puis une virgule   ,  

             puis  mettre la première borne de l'intégrale

               c-à-d     e

             en faisant

                  2ND   LN    1      )   puis virgule  ,   

             enfin mettre la seconde borne de l'intégrale   e²    

              en faisant 

              2ND    LN     2     )  

             Terminer par   )    ENTER

             Apparaît  la valeur approchée de    I  ≈  0,6931

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       EXERCICE 2.

               1.  Soit la fonction  g : x  →  e^{- x}  / ( 1 + e^{- x} ).

                    Comparer les fonctions f : x  →  1  / ( 1 + e ^x ) et g.

               2. Calculer  l'intégrale     H = ∫₀¹  1 / ( 1 + e^x  )  dx           

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    Réponse:

         1.  Comparons les fonctions g  et   f : x  →  1 / ( 1 + e^x  )

             Soit x dans IR.

                          1 + e^x    ≠ 0     et      1 + e^{- x}   ≠ 0   car

                        la fonction exp est strictement positive sur IR.

               Les deux fonctions f et g sont donc définies dans IR.

                 De plus    g(x) = e^{- x}  / ( 1 + e^{- x} ) = 1 / ( e^x ( 1 + e^{- x} ) )

                c-à-d   

                   g( x ) = 1 / ( e^x  + e^x e^-x ) =  1 / ( e^x + 1 ) = f( x )

                  Les deux fonctions f et g  sont égales.

              Conclusion:   g = f    sur IR

         2.  Soit la fonction u : x → 1 + e^{- x}   

            u est définie dérivable et strictement positive sur l'intervalle [ 0 ;1].

           La fonction dérivée de u est :    u ' : x  → - e^{- x} 

               On a  :            g = - u ' / u

                Une primitive de u ' / u  est   ln o u  sur IR.

              Ainsi une primitive de g  sur IR   est   G = - ln o u

               Une primitive de la fonction g est donc  G : x  → - ln( 1 + e^{- x} )

             Donc :      H = [ - ln( 1 + e^-x ) ]₀¹   =  - ln( 1 + e^-1  ) + ln( 1 + e⁰ )

           c-à-d           H  = ln 2 - ln( 1 + 1 / e ) = ln 2 - ln ( (1 + e ) / e ) 

              Or     2 / ( (1 + e ) / e ) = 2 e / ( 1 + e )  

               Donc :   

                 Conclusion :     H =  ln ( 2 e / ( 1 + e ) )

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          Avec la calculatrice :  

                        Y1 = 1 / ( 1 + e^( X ) )

                      fnInt( Y1, X, 0, 1)  ≈ 0,3799

            Directement :

                          H = ln(  2 e / ( 1 + e )  )

                         H ≈ 0,3799    également

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       EXERCICE 3

            1.  Soit la fonction  f : x →  1 / [( x + 1) ×( x + 2 )] 

                Trouver deux réel a et b tels que 

                f( x ) = a / ( x + 1 )  +  b / ( x + 2 )   pour tout x dans l'intervalle [ 0 ; 1 ]

             2. Calculer l'intégrale  M =  ∫₀¹ 1 / [( x + 1) ×( x + 2 )]  dx

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     Réponse:

          1.     Faisons une réduction au même dénominateur.

                    1 / [( x + 1) ×( x + 2 )] =   a / ( x + 1 )  +  b / ( x + 2 )         pour tout x dans l'intervalle [ 0 ; 1 ]

         c-à-d 

                1 / [( x + 1) ×( x + 2 )] =  [ a ( x + 2 ) + b ( x + 1 ) ]/ [ ( x + 1 ) ( x + 2 )]    pour tout x dans l'intervalle [ 0 ; 1 ]

         c-à-d 

                 1 / [( x + 1) ×( x + 2 )] =  [ ( a + b ) x + 2 a + b  ] / [ ( x + 1 ) ( x + 2 )]      pour tout x dans l'intervalle [ 0 ; 1 ]

        c-à-d   par identification:

                     a + b = 0

                    2 a + b =1

        c-à-d  

                   b = - a 

                   2a - a = 1 

        c-à-d  

                      b = - a 

                      a = 1

           c-à-d 

               b = - 1

              a = 1

                 Donc  

          Conclusion:       f( x ) = 1 /  ( x + 1 ) -   1 / (x + 2 )     pour tout x dans   [ 0 ; 1]

          2 . La fonction rationnelle     f : x →  1 / [( x + 1) ×( x + 2 )] 

                est définie et continue dans l'intervalle [ 0 ; 1 ].

                  L'intégrale M existe. 

                   Soit les fonctions      u : x →   x + 1

                                                           v: x →   x + 2

                 Les fonction u et v sont définies dérivables et strictement positives

                 sur [ 0;1].

                Les fonctions dérivées sont : 

                                                            u ': x →   1

                                                            v' : x →  1 

                                               f =  u' /  u   -   v'  /  v     sur  [ 0 ; 1 ]

                   Une primitive de f est donc :

                                            F = ln o u - ln o v           sur [ 0 ; 1 ]

                   Soit x dans [ 0 ; 1]  

                    On a :          F( x ) = ln( x + 1 ) - ln ( x + 2 ) = ln (  ( x + 1 ) / ( x + 2 ) )

             Ainsi :       M = [  ln (  ( x + 1 ) / ( x + 2 ) )  ]₀¹

             c-à-d         M =  ln ( 2 / 3 ) - ln ( 1 / 2)   = ln ( ( 2 / 3 ) / ( 1 / 2 ) )

             c-à-d        M = ln( 4 / 3 ) 

             Conclusion :    M = ln( 4 / 3 )

                    M ≈  0,2877

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