INFO FEUILLE n° 2 D'EXERCICES CALCUL INTEGRAL TS Avril 2012
EXERCICE 1.
Calculer l'intégrale N = ∫0 1 ( 2 x + 1 ) / ( x2 + x + 3)3 dx
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Réponse:
Soit la fonction f : x →( 2 x + 1 ) / ( x2 + x + 3)3
Il n'est pas nécessaire de justifier l'existence de N en
invoquant la continuité de f car on peut trouver directement
une primitive de f en utilisant le cours
Soit la fonction polynôme u : x → x2 + x + 3
u est définie dérivable et non nulle sur l'intervalle IR+ .
On a u ' : x → 2 x + 1
Ainsi : f = u ' / u3 = u ' u - 3
Une primitive de u ' u - 3 , c-à-d de f , est :
F = ( 1 / - 3 + 1 ) u- 3 + 1
c-à-d
F = - 0, 5 ( 1 / u2 ) = - 0, 5 / u2
Une primitive de f est donc :
F : x → - 0,5 / ( x2 + x + 3 )2 à une constante près
Ainsi : N = F( 1 ) - F( 0)
Or F( 1 ) = - 0, 5 / 25
F( 0 ) = - 0,5 / 9
Donc: N = ( - 0, 5 / 25 ) + ( 0,5 / 9 ) = 0, 5 ( - 1 / 25 + 1 / 9 )
c-à-d
N =( 0,5 × ( - 9 + 25 ) ) / ( 25 × 9 ) = ( 0,1 × 16) / ( 5× 9 )
c-à-d N = ( 0,1 × 16) / 45
c-à-d N = 16 / 450 = 8 / 225
Conclusion : N = 8 / 225
N ≈ 0,03555
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EXERCICE 2 .
Calculer l'intégrale J = ∫0 1 x / √( x2 +1 ) dx
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Réponse :
Soit la fonction f : x→x / √( x2 +1 )
Soit la fonction polynôme u : x→ x2 +1
u est une fonction définie , dérivable et strictement positive sur [ 0;1 ].
On a u ': x→ 2x
Ainsi f = u ' / 2 √u
Une primitive de f est donc F = √u
c-à-d
F:x → √( x2 +1 )
Ainsi: J = F( 1 ) - F( 0 )
F( 1 ) = √2
F( 0 ) = 1
Conclusion : J = √2 - 1
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EXERCICE 3
Calculer l'intégrale P = ∫14 e√x / √x dx
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Réponse :
Soit la fonction f : x→ e√x / √x
Soit la fonction u : x → √x
La fonction u est définie , dérivable sur l'intervalle [1 ; 4].
u ' : x → 1/ ( 2√x )
Ainsi: f = 2 u ' eu
Une primitive de f est F = 2