INFO DS n°9 15 mai 2007 Calcul intégral
EXERCICE BAC
On considère la fonction f définie sur [ 0 , + ∞ [ par f( x ) = [ ln ( x + 3 ) ] / (x + 3 ) .
1. Montrer que f est dérivable sur [ 0 , + ∞ [ . Etudier le signe de sa fonction dérivée f ' , sa limite
éventuelle en + ∞ , et dresser le tableau de ses variations.
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Réponse:
• Soit la fonction affine u : x → x + 3
La fonction u est définie dérivable strictement positive dans l'intervalle [ 0 , + ∞ [ .
La fonction ln o u est donc définie et dérivable dans [ 0 , + ∞ [ .
On a : f = ln o u / u ,
Conclusion : f est bien définie et dérivable dans [ 0 , + ∞ [ .
• Calculons f '.
f ' = [ u × ( ln o u ) ' - ( ln o u ) ×u ' ] / u2 = [ u × ( u ' / u ) - ( ln o u ) ×u ' ] / u2
c-à-d
f ' = [ u ' - ( ln o u ) ×u ' ] / u2
On a : u ' : x→ 1
Soit x dans [ 0 , + ∞ [ .
f '( x ) = [ 1 - ln( x + 3 ) ] / ( x + 3 )2 = [ ln( e) - ln( x + 3 ) ] / ( x + 3 )2
Comme ( x + 3 )2 > 0 pour tout x dans [ 0 , + ∞ [ .
f '( x ) est du signe de ln( e) - ln( x + 3 ) pour tout x ≥0 .
Comme x ≥ 0 on a : x + 3 > e
Ainsi : ln( e ) - ln ( x + 3 ) < 0
c-à-d
Conclusion: f '( x ) < 0 pour tout x dans [ 0 , + ∞[
f est décroissante sur [ 0 , + ∞ [ .
• Tableau de variation.
| x | 0 +∞ |
| f '( x ) | - |
| f (x ) | ↓ |
f( 0) = ln(3) / 3
• Donnons lim f
+∞
On a lim ( lnX ) / X = 0 lim( x + 3 ) = +∞
X→ +∞ x→ +∞
Donc lim ( ln( x + 3 )) / ( x + 3) = 0
x→ + ∞
Conclusion : lim f = 0
+ ∞
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2. On définit la suite ( un )n≥0 par son terme général un = ∫nn+1 f(x) dx
a. Justifier que , si n ≤ x ≤ n + 1 , alors f( n + 1 ) ≤ f(x ) ≤ f( n )
b. Montrer , sans chercher à calculer un , que , pour tout entier naturel n dans IN*,
f( n + 1 ) ≤ un ≤ f(n )
c. En déduire que la suite ( un ) est convergente et déterminer sa limite.
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Réponse:
a. Soit n dans IN*.
f est décroissante sur [ 0 , + ∞ [.
Donc
Si n ≤ x ≤ n + 1 , alors f( n + 1 ) ≤ f(x ) ≤ f( n )
Conclusion : On a bien le résultat.
b.Soit n dans IN*.
La fonction f est définie et continue sur l'intervalle [ n , n + 1 ]
De plus pour tout x dans [n , n + 1 ] on a f( n + 1 ) ≤ f(x ) ≤ f( n )
Donc d'après une propriété de cours.
( ( n + 1) - n ) ×