INFO EX 7 DV n°10 TS1 du 11 avril 2014

                            INFO   DV   n ° 10  TS1    11 / 04 / 2014  

          EXERCICE  7

                Soit  la sphère ( S ) d'équation       x2 +  y2  + z2 -  4  x - 4 y + 2 z = 7

                 Soit  la sphère ( S ' ) d'équation       x2 +  y2  + z2 - 8  x - 6 y + 2 z = - 10                                        

          1. Déterminer le centre Ω et le rayon r de ( S ). D quelle couleur est-elle

               représentée sur le dessin ci-dessous?

                Réponse:

                L'équation de ( S ) peut s'écrire:

                 ( x - 2 )2 - 22   + ( y - 2 )2 -  22  +  ( z + 1 )2 - 12 = 7

                c-à-d

                ( x - 2 )2  + ( y - 2 )2   +  ( z + 1 )2   - 9 = 7

             c-à-d 

                           ( x - 2 )2  + ( y - 2 )2   +  ( z + 1 )2   = 16

     c-à-d

                  ( x - 2 )2  + ( y - 2 )2   +  ( z + 1 )2   = 42   

      Donc par lecture:

      Conclusion:

      Il s'agit donc d'une équation de la sphère ( S ) de centre Ω ( 2  ; 2 ; - 1) et de rayon r = 4

           Il semble sur le graphique que le point Ω ( 2  ; 2 ; - 1) soit le centre de la sphère  ( S ).

            ( S ) est donc la sphère claire.

                                           Intersectionde deux spheres3

     2. Déterminer le centre Ω ' et le rayon de ( S ' )

                L'équation de ( S' ) peut s'écrire:

                x2 +  y2  + z2 - 8  x - 6 y + 2 z = - 10

                  c-à-d 

             ( x - 4 )2 - 42  + ( y - 3 )2 - 32 + ( z + 1 )2 - 1 = - 10 

     c-à-d  

              ( x - 4 )2  + ( y - 3 )2  + ( z + 1 )2 - 26 = - 10 

    c-à-d   

            ( x - 4 )2  + ( y - 3 )2  + ( z - ( - 1 ) )2  = 16 = 42  

    Ainsi:

            Le centre de la sphère  ( S ' ) est Ω ' ( 4 , 3 , - 1 )  et son rayon r ' = 4

         3. Donnons la distance ΩΩ '   et déduisons en que les sphères sont sécantes.

                 On a:   

                Distance descentres

              √  5  ≈ 2,23

                 r = r ' = 4

               Section de deux spheres

      Comme     | r - r ' | <  Ω Ω'  < r + r '  

     les deux sphères sont sécantes.

        4. Soit M un point commun à ( S ) et ( S ' ).

       a. Montrons que M est dans le plan médiateur du segment [  Ω Ω' ].

         r =  Ω M   car M est sur ( S )   

        r ' =  Ω ' M   car M est sur ( S' )

          Mais   r = r ' = 4

         Donc     Ω M  =  Ω ' M  

             Le plan médiateur ∏ du segment [ Ω Ω' ] est le plan orthogonal

            au segment [ Ω Ω' ] en son milieu.

            Mais ce plan médiateur  ∏  est aussi l'ensemble des points de

            l'espace situés à égale distance des points Ω et Ω '

         Ainsi:

         Conclusion:

          M est bien dans le plan médiateur ∏ du segment [  Ω Ω' ].

       b. Démontrons que le point M est sur un cercle de centre I et de rayon c.

            Le plan  ∏ coupe les deux sphères suivant un même cercle

           dont le centre I doit être sur le segment  [ Ω Ω' ] et dans le plan  ∏.

            Le point I est donc le milieu du segment [ Ω Ω' ].

           On a :

                                     Coord de i                     

               Donc   I ( 3 ; 2,5   ; - 1 )

       Schéma:

                     Triangle

             Dans le triangle rectangle ΩIM d'après Pythagore on a:

                         Question4b

             c. Calculons

                Prdsc 3

             Dans un plan contenant MΩΩ' le projeté orthogonal du point M

             sur le segment [ ΩΩ' ].est le point I.

            Ainsi:

         Cclprd

  5. Déterminons une équation cartésienne du plan médiateur ∏ de [ ΩΩ ']

      Pour rester dans l'esprit de l'énoncé on peut dire qu'il suffit

      de traduire analytiquement l'égalité précédente.

           Prd2

         On a :

           Prd3

       Ainsi:

      Une équation de ∏   est :    2 x + y - 6 = 2,5

       Conclusion

      Une équation du plan médiateur ∏  est  2 x + y - 8,5 = 0

      6. Déterminons un système d'équations paramétriques de la droite ( ΩΩ' ).

          Elle passe par le point Ω( 2 ; 2 ; - 1 ) et est de vecteur directeur 

                  Vectdir

         Ainsi  une représentation paramétrique de la droite ( ΩΩ ' ) est :

            Conclusion:

                    x = 2 + 2 t

                    y = 2 + t

                    z = - 1           avec t dans IR

        7. a.Démontrons que:

                              Vol 1

          On sait que :

                              Calint 1

            Une primitive de la fonction sur IR 

                          Fct 1

            est :  

                          Prim

        Ainsi:

             De1

          De2

             De3 1

       b.Déduisons le volume occupé par le solide constitué des deux sphères ( S ) et ( S ' ).

                     Soit  V le volume de chaque sphère:

                      Vosph

                  c-à-d

                       Doblesp

                  c-à-d

                       V ≈ 268,08          en unités de volume

                 Le volume du solide considéré est obtenu en considérant:

                      2 V - 2 Vh        

            Schéma:

             Section de deux spheres2

             Sch

      En remplaçant:

               Vol1

             Call

      c-à-d

          Vol3        

 

                        Vol4   

               Le volume du solide considéré est donc:

                    Volfin

                    W ≈  377,56

                               en unités de volume

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