COURS PRIMITIVES TS Avril 2012
Pour les exercices voir la feuille d'exercices.
1. Primitive.
Soit une fonction f définie dans un intervalle I.
Toute fonction définie et dérivable dans I dont la
fonction dérivée est f est une primitive de f.
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2. Critère d'existence de primitives ( Admis )
Tout fonction définie et continue dans un intervalle I y admet
au moins une primitive.
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3. Proposition.
Soit f une fonction définie dans un intervalle I.
Soit F une primitive de f dans I.
Alors toutes les fonctions de la forme F + C où C est un réel
quelconque sont aussi des primitives de f dans I.
( Evident: il suffit de dériver F + C )
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4. Proposition.
Soit une fonction f qui admet des primitives sur l'intervalle I.
Soit F et G deux primitives d'une même fonction f sur I.
Alors il existe un réel C tel que G - F = C sur I.
Explication ( ROC possible )
F et G sont deux fonctions définies et dérivables sur I.
Donc G- F est aussi une fonction définie et dérivable sur I.
On a : F ' = f et G ' = f
Ainsi ( G - F ) ' = f ' - f ' =0 sur I
La fonction G - F est donc constante sur I.
Ainsi
Conclusion :
Il existe un réel C tel que G - F = C sur I .
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5 . Proposition:
Soit f une fonction définie sur l'intervalle I qui admet F
comme primitive.
L'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble
des fonctions F + C où C décrit IR.
Explication:
Avec l' hypothèse : f est une fonction définie sur l'intervalle I et admet F
comme primitive.
• F + C où C est dans IR est aussi une primitive de f.
( Déjà vu. Il suffit de dériver F + C )
• Toute autre primitive G est telle qu'il existe C dans IR
de façon que G - F = C sur I
c-à-d G = F + C sur I
Conclusion : Les primitives de f sur I sont les fonctions
de la forme F + C où C décrit IR
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6. Proposition.
Soit u une fonction définie et dérivable dans l'intervalle I.
Soit n un entier naturel tel que n ≥ 1.
Une primitive de la fonction u ' un sur I est :
[ 1 / ( n + 1 ) ] un + 1
( Il suffit de dériver pour l'établir )
Cas particulier:
Une primitive sur I de u ' u avec les mêmes hypothèses
est (1 / 2 ) u2
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7. Proposition.
Soit u une fonction définie dérivableet NON NULLE dans l'intervalle I.
Soit n un entier naturel tel que n ≥ 2.
Une primitive de la fonction u ' / un sur I est :
[ - 1 / ( n - 1 ) ] ( 1 / un - 1 )
( Il suffit de dériver pour s'en rendre compte )
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8. Proposition.
Soit u une fonction définie , dérivable et strictement positive
sur l'intervalle I.
Alors une primitive de la fonction u ' / u est :
ln o u
( Il suffit de dériver pour l'établir )
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9. Proposition.
Soit u une fonction définie , dérivable sur l'intervalle I.
Alors une primitive de la fonction u' eu est :
eu
( Il suffit de dériver pour l'établir )
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10. Proposition.
Soit u une fonction définie , dérivable et strictement positive
sur l'intervalle I.
Alors une primitive de la fonction u' /√u est :
2√u
( Il suffit de dériver pour l'établir )
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