INFO DV TS1 du samedi 23 mai 2015

                 INFO     DV  n° 12     TS1        samedi 23 mai 2015

     EXERCICE 111  page 408  ( ou n° 38 pour une autre version )

           Cet exercice très long comporte beaucoup de phrases qui obligent à " élaguer "

           pour aller à l'essentiel. 

          Attention.  Il y a une coquille dans la question n° 5 de l'énoncé du livre où il faut lire

              K24 1  .

           1.Montrer que l'intervalle de fluctuations dont parle Dominique est:

               I ≈  [ 0,007    ;  0,093 ].

             Réponse:

               On a d'après le cours l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% ou au risque de 5%

                 pour la proportion p = 5%   connue dans la population totale des cartes SIM :

               K23 2

     On obtient:

                    I ≈  [ 0,0073    ; 0,0927 ]

            Conclusion:

                 On peut considérer que   I ≈  [ 0,007    ;  0,093 ]

       2. Quelle est la décision du test?

            Réponse:

           Pour le lot de Frit  on a:      F = 9 / 100  = 0,09

          Donc  0,09  est dans l'intervalle de fluctuations  I  précédent.

        Conclusion : OUI .   Au risque de 5% le lot de Frit est donc conforme à

                     la proportion de 5% connue pour la population des cartes.

       3.Montrer que la probabilité de se tromper est 5%.

           Réponse:

           C'est le résultat du cours qui dit:

      Gf7er

     4. En supposant que p= 0,09 quelle loi suit X ?

         Réponse:

          On répète 100 fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli dont

           les issues sont " endommagée", de probabilité p = 0,09, et " non endommagée".

          X indique le nombre de " endommagée".

          Conclusion :

            X suit la loi binomiale B( 100  ; 0,09 )

       5.♦ Montrer que: 

                         A26 2

              Réponse: ( Attention il faut modifier l'énoncé du livre.)

           A27 2

            Conclusion:

                 A26 2

        ♦ Calculer cette probabilité quand p = 0,09

               Réponse:

           Ainsi maintenant:  n = 100 et  p = 0,09

            X est de loi binomiale B( 100 ; 0,09 )

           n > 30

           n p = 9               Donc          n p ≥ 5

           n( 1 − p ) = 91    Donc       n( 1  − p ) ≥ 5         

           On peut donc considérer que  n est très très grand .

           On va donc comme dans le cours considérer :

                  A28

            c-à-d

                  K29 1

         On peut dire:

            K30 1

   Donc:

       Ka31   

           Le Corrollaire du Th de Moivre Laplace permet de considérer que:

         Ka38

             où est une var continue de loi normale N( 0 ; 12 )

              On trouve à la calculatrice :   

                   Ka40

           Conclusion:   

                           Dans cette hypothèse

                                    Ka42

           6. Dans ce cas le test-il à l'avantage de dominique ou Frit.

              Réponse : 

                 Il est à l'avantage de FRIT   car 

              Ka55

    7. Quelle est pour Hésséfer la conclusion si l'on effectue le test.

           On  a :     F = 8 / 100

           • Considérons, déjà, le test de Dominique avec p = 0,05 comme

              dans la première question, qui avait convaincu Hésséfer.

                On a toujours  I ≈  [ 0,007    ;  0,093 ] 

                  0,08 est bien dans I.

            Donc avec ce test   au risque de 5% le lot de Hésséfer est  conforme à

             la proportion de 5% connue pour la population des cartes.

             • Considérons, à présent, X de loi binomiale B( 100 ; 0,08 ).

               p =0,08 à présent.

               On a :     n =100                                           n ≥ 30

                                 n p =  E( X ) = 100 . 0,08 = 8       n p ≥ 5

                                 n p( 1 -  p ) = 7,36                         n p( 1 -  p ) ≥ 5     

            Considérons:            

                Kjl1

              On a :

           Klj45

                    D'après le corrolaire de Moivre Laplace :

               Lmk47

               avec Z var continue sur IR de loi normale centrée réduite.

                Avec la calculatrice : 

                         Mlk578

            Ainsi :

                                     Fgap57

                 Conclusion: 

                     C'est à l'avantage de Hésséger car:

                                        Ka56

      8. Soit F ' la proportion de cartes endommagées dans les deux lots.

           Donner l'intervalle de fluctuation I au seuil de 95 % avec p = 0,05 la proportion

            de cartes endommagées pour l'ensemble de la population de cartes SIM.

           Réponse:

          C'est l'application directe du cours comme dans la première question.

            On a :  F = ( 9 + 8 ) / 200 = 17 / 200

            c-à-d    F = 0,850

              Kaz4587

        9. Conclure pour le test de dominique quand on mutualise  les données de Frit et Hésséger.

               Réponse:

                  F n'est pas dans I '.

               Donc:

               Conclusion: le lot commun de Frit et Hésséger au seuil de 95% n'est pas conforme

               à la proportion de 5% considérée pour la population de toutes les cartes SIM .

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