1.Fonctions- Généralités-Enchaînements-Second degré

    SEPTEMBRE 2009     1S1      LECON 1 : Fonctions.  Généralités . Enchaînements .

                                                                  Second degré.

                         1. ACTIVITE.

                                                 ( Enchaînement des fonctions ).

                           On dispose d'un cylindre de révolution  de 21 cm de hauteur et dont le

                           périmètre en cm de la base est de 29,7 - x 

                           où x est un réel dans l'intervalle ] 0 ; 29,7 [ .

                         1. Trouver en fonction de x le volume V( x ) du cylindre.

                         2. On dispose des trois fonctions suivantes:

                                      f : x → 29,7 - x

                                       g : x → x² / ( 4 π )    

                                       h : x → 21 x

                            Obtenir  V( x ) en utilisant f , g , h .

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       Rep.

              1.        On a :   V( x ) = 21 π R²   avec R le rayon de base.

                                         Le périmètre de base est 29,7 - x.

                          Donc :   29,7 - x = 2 π R  .

                          D'où       R = ( 29,7 - x ) / ( 2 π ) .

                          Ainsi :    V( x ) = 21 π  [ ( 29,7 - x ) / ( 2 π ) ]²

                             c-à-d     V( x ) = 21 π  ( 29,7 - x )² / ( 2 π )²

                             c-à-d   V( x ) =  21  ( 29,7 - x )² / ( 4 π  )

         2.       On peut présenter V( x ) sous la forme:

                              V( x ) = h(   ( 29,7 - x )² / ( 4 π ) )

              Puis         V( x ) =  h(   ( f( x ) )² /  ( 4 π )  )

              Enfin        V( x ) = h ( g ( f ( x ) ) )   pour tout x dans ] 0 ; 29,7 [ .

             On écrira par la suite que : V = h ο g ο f

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            2.    Définition de cours:

                   Au lieu de parler de fonctions enchaînées on parle en classe de 1S de

                   fonctions composées.

                               Si u et v sont deux fonctions numériques,  la  fonction

                              "composée de u suivie de v "  , notée v ο u , est la fonction

                                                v ο u  : x →  v( u( x ) )

                              Le domaine de définition de la fonction  v ο u  est l'ensemble:

                                  Dvοu  = {   x dans Du   / u( x ) dans  Dv }

                   3.Ex.

                     Soit les fonctions :

                                          u : x → - x + 2

                                         v : x → √x

                   Donner  v ο u   et son domaine de définition.

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    Rep.             • On a :     v ο u  : x →  √( - x + 2 )                              

                        • On a :  Du = IR

                                  et   Dv  = IR+                 

      Ainsi :     Dvοu  = {   x dans Du   / u( x ) dans  Dv } = {   x dans IR    / u( x ) dans   IR+    }

   c-à-d                     Dvοu  = {   x dans IR    /  - x + 2 > = 0    }

  c-à-d                     Dvοu  = {   x dans IR    /    x =< 2 }

   c-à-d                     Dvοu  = ] -  ∞  , 2 ] 

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            4. Question .

                      Soit les fonctions :

                     u : x → - x + 2          v : x → √x                                

 

               Comment voir graphiquement la courbe de la composée   v ο u    ?

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 Rep.          Soit un repère orthonormal du plan ( O ; vect( i ) , vect( j ) ).

                  • On trace tout naturellement les courbes des fonctions  u  et v.

                  • On trace dans le même repère la première bissectrice  Δ: y = x .

              

                    

                  • Soit un point A( x , u( x ) ) avec x dans Dvοu    quelconque .

                    On veut obtenir le point D (x , v ( u( x ) ) ).

                       Pour cela :

                 •• On" rapatrie" u( x ) sur l'axe des abscisses à l'aide de la droite  Δ: y = x .

                  Pour cela  il suffit de se déplacer horizontalement à partir de A jusqu'à rencontrer la droite  Δ: y = x

                  en un point B ( u( x ) , u( x ) ) , puis à se déplacer verticalement jusqu'à rencontrer l'axe des abscisses

                  en un point E( u(x ) ; 0 ).

               •• On peut obtenir alors grace à la courbe de v le point  C( u(x ) , v( u ( x ) )  ).

              •• Le point  D (x , v ( u( x ) ) ) sera à l'intersection des deux droites suivantes :

                  La droite passant par C et parallèle à l'axe des abscisses.

                 La droite passant par A et parallèle à l'axe des ordonnées.

 

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