AIDE pour les activités 1 et 2 préparatoires de la Leçon 1 sur les fonctions.
Classe de 1S1 9 Septembre 2009
Activité 1 ( http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.jnlp
peut être utilisé pour visualiser les courbes.)
L'aide est en bleu.
1. Soit la fonction f : x → ( x + 1 ) 2 - 4 définie sur l'ensemble
des nombres réels.
a. Factoriser f ( x ).
( On peut utiliser une égalité remarquable: a² - b² = ( a - b ) ( a + b ) )
b. Résoudre dans l'ensemble des réels, l'équation : x2 + 2 x - 3 = 0 . ( 1 )
( x2 + 2 x - 3 sera mis sous la forme factorisée en utilisant ce qui précède. )
c. Représenter dans un même repère orthogonal ,
( 2 cm en abscisse ; 0, 5 cm en ordonnée. ),
les courbes des fonctions g : x → x2 et h : x → - 2 x + 3.
En déduire une résolution graphique de ( 1 ).
( Les point communs éventuels aux courbes de g et h
ont des abscisses qui vérifient g( x ) = h( x ). Comparer cette
égalité avec ( 1 ) . )
d. Représenter, dans un repère orthogonal identique ( O ; vect(i), vect(j) ) ,
les courbes des fonctions g et f.
( La courbe de f est une parabole . On peut prendre des points et ainsi tracer
la parabole. Plus judicieusement cette parabole peut se déduire de la
parabole basique qui représente g. )
Pour cela dire la transformation qui permet d'obtenir la courbe de f à
partir de celle de g .
( On pourra constater que f( x ) = g( x + 1 ) - 4 pour tout réel x.
c-à-d f(x ) = g( x - ( - 1 ) ) - 4 pour tout réel x. )
Information:
Soit a et b deux réels.
Soit p une fonction définie dans un domaine D.
La courbe de la fonction q : x→ p( x- a ) + b est
l'image de celle de p par la translation de vecteur :
a vect(i) + b vect(j).
En déduire une nouvelle résolution graphique de ( 1 ).
( Comme on dispose de la courbe de la fonction f , il est
possible de résoudre graphiquement f( x ) = 0 . )
e. Soit k ( x ) = a x2 +b x + c avec a , b , c trois réels et a non nul.
Comment , si possible, peut-on amorcer une factorisation pour
k (x ) ?
( a est non nul.
On peut donc factoriser a. C'est la première chose à faire.
x² +( b / a ) x est le début de x² + 2 ( b / ( 2 a ) ) x + b² / ( 4a² ) .
Il est donc possible de remplacer x² +( b / a ) x par
( x + ( b / ( 2 a ) )² - b² / ( 4a² ) .
Ensuite on peut grouper - b² / ( 4a² ) et c / a en réduisant au même
dénominateur. Une factorisation est éventuellement possible
quand b² - 4 ac >=0 . ) )
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Activité 2.
L'aide est en bleu.
1. Les fonctions f : x→ x + 1 et g :x → ( x2 - 1) / ( x - 1) sont-elles égales ?
On rappelle que deux fonctions f et g sont égales quand
les deux conditions suivantes sont respectées:
Même domaine de définition D.
f ( x ) = g ( x ) pour tout x dans D .
( Comparer déjà les deux domaines de définition. )
2. Soit la fonction u : x→ x² - 4 . Donner son sens de variation sur l'intervalle
des réels positifs ou nuls.
( On pourra s'aider de celui de la fonction de base x→ x² . )
3. Soit la fonction w : x→ 1/( x+ 1) . Donner son sens de variation sur l'intervalle
des réels supérieurs à - 1.
RAPPEL: Soit une fonction f définie dans un intervalle I.
• La fonction f est croissante strictement sur un intervalle I
quand :
Pour tout a et tout b dans I , a < b implique f ( a ) < f ( b ).
• La fonction f est décroissante strictement sur un intervalle I
quand :
Pour tout a et tout b dans I , a < b implique f ( a ) > f ( b ).
( On peut utiliser ce rappel.)
4. Soit les fonctions u : x→ x² - 4 et v : x→ x + 1 .
a. Déterminer la fonction composée: v o u .
( Le symbole o mis entre les deux fonctions est une simple notation.
Il s'agit d'un enchaînement de deux fonctions: u d'abord puis v ensuite.
x→ x² - 4
X → X + 1 .
Donc x ————→ ?
b. Donner les tableaux de variations de u , v , v o u .
( Ceux des fonctions u et v sont basiques. Celui de v o u
peut se déduire de celui de la fonction de base x→ x² . )
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