INFO LISTE 2 EX ( Suite 2)

   INFO  LISTE 2     Suite 2      Leçon 1                Sept. 09               1 S1

              ♦ EX 6.      Résoudre dans l'ensemble des nombres réels, 

                             l'équation bicarrée:                                           

                                        2 x 4  - 5  x 2 + 1 =  0       

                                 ( On posera :    X = x 2      )     

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         Réponse:

                                2 x 4  - 5  x 2 + 1 =  0       ( 1 )

                                s'écrit   :

                                             

                  •  Résolvons     2 X 2  - 5  X + 1 =  0     (  3 ).

             On a :        Δ = b² - 4 ac

             c-à-d         Δ = ( - 5 )²  - 8 =  25 -8 = 17

            Donc          Δ > 0 

                    Les deux racines distinctes sont :

                                                 (  - b -  √ Δ  ) / ( 2 a ) = (  5 - √17   ) / 4

                                                  (  - b  + √ Δ  ) / ( 2 a ) =  (  5 + √17   ) / 4

                  Elles sont positives  car :

                    17 < 25

                  •  Considérons :    X = x2        ( 2 )

                           avec      X = (  5 - √17   ) / 4

                    x² = (  5 - √17   ) / 4        s'écrit      x =  √ ( (  5 - √17   ) / 4 ) 

                                                                     ou   x =  - √ ( (  5 - √17   ) / 4 )

                     •  Considérons            X = x2        ( 2 )

                                    avec     X = (  5 + √17  ) / 4

                    x² = (  5 + √17   ) / 4        s'écrit      x =  √ ( (  5 +√17   ) / 4 ) 

                                                                     ou   x =  - √ ( (  5 +√17   ) / 4 )

                      Conclusion :  

      SIR = { √ ( (  5 - √17   ) / 4 ) ;  - √ ( (  5 - √17   ) / 4 ) ; √ ( (  5 +√17   ) / 4 )  ;  - √ ( (  5 +√17   ) / 4 ) }

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             ♦ EX 7.  A l' aide de la division :                5 x 2  + 4 x + 2                  ¦ x+1  

                                                                                                                        ¦               

                          trouver les réels a, b , c  tels   que :  

                         ( 5 x 2  + 4 x + 2 ) / ( x + 1 ) = a x + b + c / ( x + 1 )

                          pour tout réel distinct de - 1.

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           Réponse:

                              Méthode :  La  division

                            

                                                                 

                     On a :               5 x 2  + 4 x + 2  = ( x + 1 ) ( 5 x - 1 ) + 3   pour tout réel x.                                                        

                     Ainsi on a :         ( 5 x 2  + 4 x + 2 ) / ( x + 1 ) = 5 x -1   + 3  / ( x + 1 )   

                                                                                          pour tout x dans IR- { - 1 }.

                     Conclusion: .      a = 5       b = - 1    c  = 3

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              ♦ EX 8.     Soit f : x → x 3  -  4 x 2 + 2 x + 1

                               Factoriser f(x).  ( On pourra remarquer une racine évidente.):

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           Réponse:           1 est une racine évidente car  1 - 4 + 2 + 1 =. 0 .

                                     f( x ) est donc factorisable par x - 1

                                   Utilisons la division.

                                                    

                         Conclusion : f( x ) = ( x + 1 ) ( x2 - 3 x - 1 )

                       On peut vouloir regarder si l'on peut factoriser davantage.

                       Pour  x2 - 3 x - 1 = 0

                       On a : Δ= b² - 4 ac

                       Δ = 9 + 4 = 13    Δ > 0

                       Les deux racines distinctes sont :

                          (  - b -  √ Δ  ) / ( 2 a ) =   ( 3 - √  13 ) / 2

                            (  - b  + √ Δ  ) / ( 2 a ) =  ( 3 + √  13 ) / 2

                         Ainsi:     x2 - 3 x - 1 = ( x - ( 3 - √  13 ) / 2 ) ( x - ( 3 + √  13 ) / 2 )

                        D'où:

             Conclusion :      f( x ) = ( x + 1 ) ( x - ( 3 - √  13 ) / 2 ) ( x - ( 3 + √  13 ) / 2 )    

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               ♦ EX 9.  Trouver un polynôme du troisième degré dont les racines sont :

                             1 ,  2 , - 1.

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        Réponse:      

                           Soit a un réel non nul quelconque.

                           a ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 2 )  répond à la question.  

                           Par exemple on peut prendre a = 1

                          Il vient :    ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 2 ) = ( x 2- 1 ) ( x -  2 )

                           c-à-d         ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 2 ) =  x 3- 2 x 2  - x + 2

                            Conclusion :         ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 2 )   =     x 3- 2 x 2  - x + 2      

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