INFO LISTE II D'EX Leçon 1

  INFO  LISTE II    D'EX     Leçon 1               25 et 26   SEPT. 09                  1S

             EXERCICE 1.

                   Résoudre dans IR l'inégalité  ( x - 4 ) ( x - 2 ) > 0.

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                Réponse:

                 ( x - 4 ) ( x - 2 ) est la forme factorisée d'un trinome  du second degré

                  dont les racines visibles sont 2 et  4 .  Le coefficient de x²  est a = 1.

                   Nous voulons que ( x - 4 )( x - 2 )  soit du signe de a.

                    Nous devons donc prendre x  à l'extérieur des racines, en les excluant

                   comme l'inégalité est stricte.

                        Conclusion:   SIR = ] -  ∞ , 2 [ U ] 4 , +  ∞ [

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              EXERCICE 2.

                          Résoudre dans IR l'inégalité  x² - 3 x + 2 ≥ 0 .

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                Réponse:

                   1 - 3 + 2 = 0    ( Somme des coefficients nulle.)

                   Il apparaît que 1 est une racine évidente  de l'équation x² - 3 x + 2 = 0 .

                   x² - 3 x + 2 est factorisable par ( x - 1 ).

                  Donnons la seconde racine β.

                   On a     ( x - 1 ) ( x - β ) = x² - 3 x + 2  pour tout réel x.

                    Il est clair que   (  - 1 ) ( -β )  = 2    

                   Donc  β = 2

                       a = 1.

                 Nous voulons que  x² - 3 x + 2  soit du signe de a.

                 Nous devons donc prendre x  à l'extérieur des racines, en les acceptant

                 comme l'inégalité est large.    

           Conclusion:   SIR = ] -  ∞ , 1]  U  [ 2 , +  ∞ [  

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               EXERCICE 3

                          Résoudre dans IR      - x² - 5x + 6 < 0     

                           On pourra utiliser le résultat suivant:

                           Quand une équation du second admet des racines distinctes ou confondues   

                           leur produit est   c / a.

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                 Réponse:  

                       On a :    a x² + b x + c < 0   

                                    avec a = - 1    ,    b = - 5          c = 6

                  - 1 - 5 + 6 = 0 .

                 1 est une racine évidente de - x² - 5x + 6 =0 .

                 L'autre est donc     c / a  = 6 / ( - 1) = - 6

                 Nous voulons que - x² - 5x + 6  soit du signe de a.

                 Nous devons donc prendre x à l'extérieur des racines , en

                 les excluant comme l'inégalité est stricte.

                              Conclusion:   SIR = ] -  ∞ , - 6 [   U  ] 1 , +  ∞ [  

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                 EXERCICE 4. 

                              Soit  l'équation  ( E ) :  x3  + 4 x² + 2 x - 7 = 0

                 1.Trouver une racine évidente. ( Seules , - 1 ; 0 ; 1 sont acceptées. )

                 2. Trouver les réels a , b , c tels que :

                           x3  + 4 x² + 2 x - 7 = ( x - 1 ) ( a x² + b x + c )     pour tout x dans IR.

                        On utilisera deux méthodes.

                            • La division de   x3  + 4 x² + 2 x - 7  par x - 1.

                            • Le développement , la réduction , l'ordonnancement, puis

                               l'identification des coefficients, enfin la résolution d'un système.

                 3. Résoudre l'équation ( E ).

                    Pour information voici la courbe de la fonction f: x →  x3  + 4 x² + 2 x - 7.

                              

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         Réponse:

                 1.  Comme   1 + 4 + 2 - 7 = 0 on a 1 qui est une racine évidente.

                    Ainsi   x3  + 4 x² + 2 x - 7  est factorisable par par x - 1.

                2. Par division ou par identification on obtient finalement:

                            • Par division:

                          

                        x3  + 4 x² + 2 x - 7  = (  x - 1 ) ( x² + 5 x + 7 )

                Conclusion:       a = 1         b  = 5     c = 7

                   • Par identification.

                           Soit x un réel quelconque:

                      On a :        x3  + 4 x² + 2 x - 7  = (  x - 1 ) ( a x² + b x + c ) 

                      c-à-d        x3  + 4 x² + 2 x - 7  = a x3 + b x2 + c x - a x² - b x - c

                      c-à-d       1  x3  + 4   x²  + 2 x - 7  =   a x3 + ( b - a ) x2 + ( c - b )   x  - c

                                   pour tout réel x.

                       Par identification des coefficients on obtient le système :

                                           a  =  1

                                       b - a  =  4

                                       c - b  =  2   

                                         - c  =  - 7

                        Ce   système donne    a = 1

                                                           c = 7

                                                           b =  4 + a =  4 + 1 = 5

                                                           b = c - 2 = 7 - 2 = 5

                              Conclusion :      a = 1         b  = 5     c = 7

                   3. On a:    x3  +  4 x² + 2 x - 7  = 0    ssi   x = 1 ou  x² + 5 x + 7 = 0

                   Comme le discriminant de x² + 5 x + 7  est  Δ = - 3   on a   Δ = < 0 

                   Ainsi l'équation    x² + 5 x + 7 = 0  ne donne pas de nouvelle racine.

                    Conclusion:   SIR = { 1 }    

                   Ce résultat était prévisible en regardant la courbe de la fonction f.

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                EXERCICE 5.                    En classe goupe 1       26/09/09 

                              Soit  l'équation  ( E ) :  x3 + 3 x² - 3 x - 1 = 0

                    1. Trouver une racine évidente de ( E ).

                    2. Résoudre ( E ).

                    3. A l'aide de l'identité remarquable  a3 - b3 = ( a - b ) ( a² + a b + b² )

                         factoriser   x3 + 3 x² - 3 x - 1   par x - 1. Que remarque-t-on ?

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          Réponse:

                         1. Comme 1 + 3 - 3 - 1 = 0  ( la some des coefficients est nulle )

                             on a 1 qui est une racine évidente.

                            On peut donc factoriser x3 + 3 x² - 3 x - 1 par x - 1.

                         2. Divisons  x3 + 3 x² - 3 x - 1   par    x - 1.

                               

                                 On obtient :   x3 + 3 x² - 3 x - 1   = ( x - 1 ) ( x² + 4 x + 1 )

                                  Ainsi :   x3 + 3 x² - 3 x - 1   = 0   ssi  x = 1 ou  x² + 4 x + 1 = 0

                                  Pour     x² + 4 x + 1 = 0  on a :

                                                Δ  =  b² - 4 a c

                                   Ainsi :  Δ = 4² - 4 = 12

                                   Donc     Δ > 0

        Les racines sont :     ( - b - √ Δ ) / ( 2 a ) = ( - 4 -  √ 12 ) / 2   =  - 2  - √ 3 

                                     ( - b + √ Δ ) / ( 2 a ) = ( - 4 + √ 12 ) / 2    =  - 2  + √ 3 

                                      Conclusion:  S = {    - 2  - √ 3    ;  - 2  + √ 3     ; 1    }

                             3.  On a:    x3 + 3 x² - 3 x - 1  =  x3  - 13 + 3 x ( x - 1 )

     c-à-d  x3 + 3 x² - 3 x - 1  =  ( x  - 1 ) ( x² + x + 1 )  + 3 x ( x - 1 )  

   c-à-d  x3 + 3 x² - 3 x - 1  =  ( x  - 1 )  (    x² + x + 1 + 3 x )  

  c-à-d  x3 + 3 x² - 3 x - 1  =  ( x  - 1 )  (    x² + 4 x + 1 )  

                           On retrouve la factorisation de la question  précédente.

                           La résolution est ensuite identique.

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                EXERCICE 6.                 En classe goupe 1       26/09/09       

                          Résoudre dans IR l'équation :   x4 - 3 x2 + 2 = 0         ( 1 )

                            ( Méthode:

                                Considérer  :        T = x2               ( 2 )

                                                             T 2 - 3 T + 2 = 0               ( 3 ) 

                                Puis résoudre ( 3 ) puis pour chaque valeur de T éventuelle trouvée

                                résoudre ( 2 ) .

                                Conclure.  )

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          Réponse:

                          ( 3 )  admet 1 comme racine évidente car 1 - 3 + 2 = 0.

                           L'autre racine est donc   c / a = 2 / 1 = 2

                           Ainsi       T2 - 3 T + 2 = 0    ssi      T = 1  ou T = 2

                           Donc   ( 1 ) équivaut à  x² = 1 ou x² = 2

          c-à-d             ( 1 ) équivaut  à    x = 1 ou x = - 1 ou x = √ 2   ou x = - √ 2    

                           Conclusion:         S = {  - √ 2  ;  - 1 ;  1 ; √ 2 }

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               EXERCICE 7.                             En classe goupe 1       26/09/09       

                        Donner le domaine de définition de la fonction f : x →   1 / ( x² - x + 1 )

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            Réponse:      Le seul problème ici est de ne pas avoir le dénominateur nul

                       Df = { x dans IR /     x² - x + 1 ≠  0 }     

                   Mais le discriminant de x² - x + 1  est  strictement négatif.

                     Δ = b² - 4 ac         

                     Δ = ( - 1 )² - 4 = - 3

                  Ainsi  x² - x + 1 ≠  0  pour tput x dans IR.

                  Conclusion :       Df = IR  

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