Leçon 1 Fonctions - second degré

 SUITE DE LA LECON 1      FONCTIONS-ENCHAINEMENTS-SECOND-DEGRE      1S1 

              1. Introduction.

                  Question:

                 Que faire pour résoudre l'équation x² + x + 1 = 0   notée ( 1 )  ?

                  Réponse:

                • Factoriser x ne sert à rien.

                     x ( x+ 1 ) + 1 = 0  ne donne rien.

                    Même le fait d'écrire     x( x + 1 ) = - 1        ne permet pas d'avancer.

               • Par " analogie"  avec des résolutions graphiques déjà vues on peut

                 écrire l'équation sous la forme :    x²   = - x - 1.

                  D'où l'idée de penser à tracer les courbes des fonctions

                         u : x → x²    et v : x → - x -1

                 Les abscisses des points communs éventuels seront les solutions de ( 1 ) .

                Le graphique réalisé montre que les deux courbes

                de u et v ne se rencontrent pas.

                  Conclusion:    S_IR = Ø

                •  On pourrait aussi représenter la fonction f : x → x² + x + 1

                   puis regarder si sa courbe coupe l'axe des abscisses.

                   Les abscisses des points éventuels où la courbe de f  rencontre l'axe des abscisses

                   seront les solutions de f( x ) = 0  c'est-à-dire de  x² + x + 1 = 0.

                 Mais en faisant la courbe de f on voit qu'elle est au dessus strictement de l'axe des abscisses.

                      Conclusion:    S_IR = Ø

                • Par le calcul on peut essayer de factoriser en considérant que

                  l'on a le début d'un carré parfait.

                    On remarque que  x  = 1 x  =  2 ( 1 / 2 ) x

                    x² + x  est  donc le début de (  x + ( 1 / 2 ) )²

                  Soit x dans IR.

                  x² + x + 1 =  x² + 2 ( 1 / 2 ) x + 1

                 On peut ajouter 0.

                 0   pouvant s'écrire  ( 1 / 2 )²  - ( 1 / 2 )²

                c-à-d      x² + x + 1 = x² + 2 ( 1 / 2 ) x +  ( 1 / 2 )² - ( 1 / 2 )²  + 1

               c-à-d       x² + x  + 1 = ( x + ( 1 / 2 ) )²   - ( 1 / 4 ) + 1

               c-à-d      x² + x + 1 = ( x + ( 1 / 2 ) )²   - ( 1 / 4 ) + ( 4 / 4 )

               c-à-d      x² + x + 1 = ( x + ( 1 / 2 ) )²    + ( 3  / 4 )

                 On a  :      3 / 4 > 0         et    ( x + ( 1 / 2 ) )²  ≥ 0    pour tout x dans IR.

                 Donc:         ( x + ( 1 / 2 ) )²  + ( 3 / 4 ) > 0       pour tout x dans IR.

                  L'équation ainsi n'admet aucune solution.

                   Conclusion:    S_IR = Ø

                 • : La méthode à venir va consister à calculer " le discriminant"  (  Δ = - 3  )

                     et à s'apercevoir que celui-ci est strictement négatif.

                   On pourra alors conclure .

                        Conclusion:    S_IR = Ø

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              2. Trinome du second degré ( à coefficients réels . )

                 C'est toute expression de la forme   a x² + b x + c     avec a un réel non nul ,

                 b et c deux réels.

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               3.EX

                       x² + x + 1   en est un  avec a = 1 ,   b = 1    et    c = 1

               4. Discriminant d'un trinome du second degré.

                    Soit     a x² + b x + c    avec a un réel non nul ,

                      b et c deux réels.

                     Son discriminant est le réel    Δ  = b²  - 4 ac .

                 Généralement c'est la première chose que l'on calcule.

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            5. Equation du second degré.

                  Elle est de la forme   a x² + b x + c = 0     avec a un réel non nul ,

                      b et c deux réels.

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            6. EX

                       x² + x + 1  = 0

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          7. PROP. ( Résolution d'une équation du second degré )

                        Soit     a x² + b x + c    avec a un réel non nul ,

                      b et c deux réels.

                     Soit  son discriminant   Δ = b² - 4 ac .

                Trois cas se présentent:

                 • Δ = 0                Alors  S_IR = {  - b / ( 2 a )  }

                                        Il y a deux racines confondues  ( ou une racine double.)

                • Δ  < 0             Alors   S_IR = Ø 

               • Δ > 0             Alors    S_IR = { ( - b -   √ Δ   ) / ( 2 a ) ; ( - b +  √ Δ   ) / ( 2 a ) }

                                          Il y a deux racines distinctes.

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                   Explication:         a ≠  0 

                                              Dans l'activité n°1 on a vu :

                   Pour tout réel x on a ,     ax² + bx + c = a [ ( x + b / ( 2 a ) )² - Δ / ( 4 a² ) ].

                   On discute:

                      • Δ = 0            alors       ax² + bx + c = a ( x + b / ( 2 a ) )²

                                                          ax² + bx + c = = 0     ssi   x + b / ( 2 a ) = 0

                                             c-à-d          ax² + bx + c = = 0      ssi  x = - b / ( 2 a )

                                             Alors  S_IR = {  - b / ( 2 a )  }

                        • Δ < 0               Alors   - Δ > 0  .      Donc   - Δ/ ( 4 a² ) > 0

                               Ainsi              [ ( x + b / ( 2 a ) )² - Δ / ( 4 a² ) ] > 0  pour tout réel x.

                               Donc           a [ ( x + b / ( 2 a ) )² - Δ / ( 4 a² ) ] ≠  0  pour tout réel x.

                                                      ( a donnera le signe de l'expression. )

                              c-à-d              ax² + bx + c  ≠  0  pour tout réel x.

                                                 Alors   S_IR = Ø 

                          • Δ > 0        Alors     ax² + bx + c = = a  [ ( x + b / ( 2 a ) )² + (  √Δ )² / ( 4 a² ) ]

                                                On a une différence de deux carrés. On peut factoriser.

                       ax² + bx + c = = a  [ x + b / ( 2 a )  +   √Δ  / (2a ) ] [ x + b / ( 2 a ) - √Δ  / (2a ) ]

                                               Alors    S_IR = { ( - b -   √ Δ   ) / ( 2 a ) ; ( - b +  √ Δ   ) / ( 2 a ) }

                                          Il y a deux racines distinctes.

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         8.EX.

                  1. Résoudre dans IR l'équation x² - x + 1 = 0.

                  2. Résoudre dans IR l'équation x² - 2 x + 1 = 0.

                  3.  Résoudre dans IR l'équation x² + 4 x + 3 = 0.

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  Réponse:

                 1. Résolution de l'équation du second degré:  x² - x + 1 = 0.

                         On a:   Δ = b² - 4 ac          avec a =1     b = - 1     c = 1

                                 Donc    Δ = ( - 1 )² - 4 ×1 ×1  = - 3

                                  Ainsi   Δ < 0    

                        Conclusion :   S = Ø

                       Interprétation graphique: La courbe de la fonction x→ x² - x + 1

                                                                 ne coupe pas l'axe des abscisses.

                   2.Résolution de l'équation du second degré:  x² - 2x + 1 = 0.

                       • Méthode 1 :    On a:   Δ = b² - 4 ac          avec     a =1     b = - 2     c = 1

                                     Donc    Δ = ( - 2 )² - 4 ×1 ×1  = 0

                                     Ainsi   Δ = 0  

                                    Il y a une racine "double":     - b / ( 2 a ) = - ( - 2 ) / ( 2 ×1) = 2 / 2 = 1

                                   Conclusion :   S ={ 1 } 

                      • Méthode 2 :     x² - 2 x + 1 = 0    s'écrit    ( x - 1 )² = 0

                                              c-à-d    x - 1 = 0    c-à-d   x = 1  

                           Conclusion :   S ={ 1 } 

                          Interprétation graphique: La courbe de la fonction x→ x² - 2 x + 1

                                                                   coupe  l'axe des abscisses en un seul point

                                                                     d'abscisse 1.

                              3.Résolution de l'équation du second degré:  x² + 4 x + 3 = 0.

                                        On a:   Δ = b² - 4 ac          avec   a =1     b =  4     c = 3

                                                      Δ =    4² -  4 ×1 ×3 = 16 - 12 = 4 

                                                   Donc     Δ > 0

                                                 Il y a deux racines distinctes:

                                                      ( - b - √ Δ ) / ( 2 a ) = (- 4 - 2 ) / 2  = - 6 / 2 = - 3

                                                      ( - b + √ Δ ) / ( 2 a ) = ( - 4 + 2 ) / 2 = - 2 / 2 = - 1

                                                   Conclusion :   S ={ - 1  ;  - 3} 

                                       Interprétation graphique: La courbe de la fonction x→ x²  + 4 x + 3

                                                                   coupe  l'axe des abscisses en deux  points

                                                                     d'abscisse - 3   et - 1.

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         9.PROP.

                  Soit le trinome du second degré a x² + b x + c  , avec a réel non nul et b dans IR , c dans IR.

                •  Si Δ = 0 alors a x² + b x + c est du signe de a pour tout x dans IR.

                     a x² + b x + c s'annulant pour x = - b / ( 2 a ).

                •   Si Δ <  0 alors a x² + b x + c est du signe de a pour tout x dans IR.

                         a x² + b x + c ≠ 0 pour tout x dans IR . 

                •   Si Δ >   0 alors a x² + b x + c   est du signe de a quand x est à l'extérieur des racines et

                                  du signe de - a quand x est entre les racines .

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          10 . EX.

                             1. Résoudre  dans IR   x² - x + 1 > 0 .

                             2. Résoudre  dans IR   x² - 2 x + 1 > 0 .

                             3. Résoudre  dans IR   x²  + 4 x + 3 < 0 ..

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             Réponse:  

                                1. Pour    x² - x + 1 > 0 .    

                                      On a vu :       Δ = ( - 1 )² - 4 ×1 ×1  = - 3

                                                          Ainsi   Δ < 0    

                                                           a = 1

                                    Nous voulons que x² - x + 1 soit du signe de a.

                                    Or c'est toujours le cas.

                                    Conclusion:   S = IR

                    INTERPRETATION  GRAPHIQUE :

                 La courbe d'équation  y = x² - x + 1  est toujours au dessus strictement de l'axe

                 des abscisses.

                              2. Pour    x² -  2 x + 1 > 0 .  

                                     On a vu :         Δ = ( - 2 )² - 4 ×1 ×1  = 0

                                     Ainsi   Δ = 0 

                                     a = 1

                                     Nous voulons que x² - 2 x + 1 soit du signe de a.

                                    Or c'est toujours le cas.  On refuse la racine double - 1

                                    car l'inégalité est stricte.

                                    Conclusion:   S = IR - { - 1 } 

                                 INTERPRETATION  GRAPHIQUE :

                            La courbe d'équation  y = x² -  2 x + 1  est  au dessus de l'axe des

                            abscisses avec un seul point commun.

                                     3. Pour    x²  + 4 x + 3 < 0 .

                                       On a vu :      Δ =    4² -  4 ×1 ×3 = 16 - 12 = 4 

                                                          Ainsi   Δ > 0

                                                 Il y a deux racines distinctes:  - 3 et - 1.

                                                 a = 1

                                         Nous voulons  que x² + 4 x + 3 soit du signe de - a .

                                        Nous devons prendre x entre les racines en les excluant

                                       car l'inégalité est stricte.

                                          Conclusion:   S = ] - 3  ;   - 1  [ 

                                         INTERPRETATION  GRAPHIQUE :

                            La courbe d'équation  y = x²  + 4 x + 3  est en dessous de l'axe des abscisses

                            sur l'intervalle ] - 3 ; - 1 [ .

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            11. Remarque:

                     Soit le trinome du second degré   a x² + b x + c.

                                                 Δ = b² - 4 a c

                    • Si Δ = 0 alors les deux racines sont les mêmes à savoir  - b / ( 2 a ).

                          Ainsi  leur somme est :   - b / ( 2 a ) +  - b / ( 2 a ) = - b/ a 

                          Ainsi aussi leur produit est :     ( - b / ( 2 a )  ) ²  = b² / ( 4 a² )

                                          Mais  b² = 4 ac    sachant    b² - 4 a c = 0.

                                         D'où     ( - b / ( 2 a )  ) ²  =   ( 4 a c ) / ( 4 a² )   = c / a  

                    • Si Δ > 0   alors les deux racines distinctes sont:     

                                ( - b - √Δ ) / (2a )   et    ( - b + √Δ ) / (2a )  

                            Ainsi leur somme est :

                              ( - b - √Δ ) / (2a ) + ( - b + √Δ ) / (2a )  = - b/ a

                             Ainsi aussi leur produit est :

                  ( - b - √Δ ) / ( 2a ) × ( - b + √Δ ) / ( 2a )  = (   ( - b )² - ( √Δ )² ) / ( 4a² )

      c-à-d     ( - b - √Δ ) / ( 2a ) × ( - b + √Δ ) / ( 2a )  = ( b² - b² + 4 ac ) / ( 4 a² ) = c / a 

                       DANS LES DEUX CAS LA SOMME DES RACINES EST       - b / a.

                        DANS LES DEUX CAS LE PRODUIT DES RACINES EST       c / a.

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