EX. GEOM-ESPA 1S 12 Juin2010

                   EXERCICE GEOMETRIE           1S1     Réalisé en classe le  samedi 12 Juin 2010   

                EXERCICE               ( Sur la colinéarité  et sur la coplanairité )         

                      L'espace est muni d'un repère orthonormal.

                      Soit les vecteurs :

                      

                        de coordonnées respectivement ( 1 ; 1 ; 0 )    ;   ( 1 ; 0 ; 1 )   ;  ( 1 ; - 1 ;  0 ).                   

               1. Les vecteurs 

                           

                   sont-ils colinéaires?

                2. Les vecteurs 

                            

                    sont-ils coplanaires?

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               1. Regardons si les deux vecteurs sont colinéaires.

                   La définition est la même dans l'espace que dans le plan. 

                      ¤  Aucun de deux vecteurs n'est nul.

                     ¤ De plus considérons un réel  m tel  lel que :

                          

                  c-à-d 

                               1 = m

                               1 = 0

                               0 = m

                Comme 1 n'est pas nul c'est impossible.

                 Conclusion:   Les deux vecteurs

                                          

                              ne sont pas colinéaires.

               ( Ils peuvent donc être deux vecteurs directeurs d'un plan .)

               2. Regardons si les trois vecteurs sont coplanaires.

                       Il suffit de regarder s'il existe deux réels  m et p tels que :

                        

                     c-à-d 

                                           1 = m + p

                                           1 = 0 ×m - p

                                           0  =  m  - 0 ×p 

                      c-à-d     

                                             m = 1 - p

                                             p =  - 1

                                             m = 0

                 c-à-d          

                                         m = 2

                                         p =  - 1

                                         m = 0       Contradictoire car 2 n'est pas 0.

              Conclusion: Les trois vecteurs ne sont pas coplanaires.

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