INFO 3 DS n° 2 1S1 21 /10/ 09
EXERCICE 3
1.Résolution dans IR.
a. 2 x² + x - 3 = 0
1 est une racine évidente de 2 x² + x - 3 = 0
car 2 + 1 - 3 = 0.
L'autre racine est donc c / a = - 3 / 2 .
b. 2 x² + x - 3 < 0.
Conclusion. SIR = { 1 ; - 3 / 2 }.
a = 2 . Nous voulons que 2 x² + x - 3 soit du signe de - a.
Donc nous devons prendre x entre les racines , en les excluant ici.
Conclusion. SIR = ] - 3 / 2 , 1 [
c. 2 ( x - 1 ) ( x + 3 / 2 ) > 0.
c-à-d 2 x² + x - 3 > 0.
Nous voulons que 2 x² + x - 3 soit du signe de a = 2 .
Nous devons prendre x à l'extérieur des racines.
| Conclusion. SIR = ] - ∞ , - 3 / 2 [ U ] 1 , + ∞ [ |
d. Mettons 2 x² + x - 3 sous la forme canonique.
• Méthode: 2 x² + x - 3 = 2 ( x² + ( 1 / 2 ) x - 3 / 2 )
c-à-d 2 x² + x - 3 = 2 ( x² +2 ( 1 / 4 ) x - 3 / 2 )
c-à-d 2 x² + x - 3 = 2 ( ( x + ( 1 / 4 ) ) ² - ( 1 / 4 ) ² - 3 / 2 )
c-à-d 2 x² + x - 3 = 2 ( ( x + ( 1 / 4 ) ) ² - 1/ 16 - 24/16 )
c-à-d 2 x² + x - 3 = 2 ( ( x + ( 1 / 4 ) ) ² - 25/ 16 )
c-à-d 2 x² + x - 3 = 2 ( x - ( - 1 / 4 ) ) ² - 25/ 8
•Méthode :( Possible )
Δ = b² - 4 ac Donc Δ = 1² - 4 ( 2 ) ( - 3 ) = 25
Ainsi: a ( x + b / ( 2 a ) )² - Δ / ( 4a) = 2 ( x - ( - 1 / 4 ) )² - 25 / 8
a = 2 α = - 1 / 4 β = - 25 / 8
| Conclusion. 2 x² + x - 3 = 2 ( x - ( - 1 / 4) )² - 25 / 8 |
2. La courbe ( C ) de f est d'équation y = 2 ( x - ( - 1 / 4 ) )² - 25 / 8.
La parabole P est d'équation y = 2 x².
|
Conclusion. ( C ) est l'image de ( P )par la translation de vecteur - 1 / 4 vect( i ) - 25 / 8 vect( j ). |
3. Par division de 2 x3 - x2 - 4 x + 3 par x - 1 on obtient
2 x3 - x2 - 4 x + 3 = ( x - 1 ) ( 2 x² + x - 3 ) pour tout réel x.
Donc
| Conclusion. a = 2 b = 1 c = - 3 |
Résolvons 2 x3 - x2 - 4 x + 3 = 0
c-à-d ( x - 1 ) ( 2 x² + x - 3 ) = 0
c-à-d x = 1 ou 2 x² + x - 3 = 0
Comme la résolution a déjà été faite on directement: ( question 1. )
2 x3 - x2 - 4 x + 3 = 0 ssi x = 1 ou x = - 3 / 2.
| Conclusion. SIR = { - 3 / 2 ; 1 } |
4. Ecrivons la fonction g : x → 3 - 5 / ( x + 1 ) comme composée
de fonctions simples, sur l'intervalle ] - 1 , + ∞[ .
Soit u: x → x + 1
Soit v: x → 1 / x
Soit w : x → 3 - 5 x
On a: g = w o v o u sur ] - 1 , + ∞[ .
En effet: Soit x > - 1 on a
w( v ( u ( x ) ) ) = w( v (x + 1 )) = w( 1 / ( x + 1 ) ) = 3 - 5 ( 1 / ( x + 1 ) ).
Conclusion. g = w o v o u sur ] - 1 , + ∞[ .
Donnons le sens de variation de g.
On a:
u: x → x + 1 est strictement croissante et non nulle sur ] - 1 , + ∞[ v: x → 1 / x est strictementdécroissante sur IR - { 0 }. w : x → 3 - 5 x est strictement décroissante sur IR. g est la composée de deux fonctions décroissantes avec une fonction croissante. Conclusion : g est strictement croissante sur ] - 1 , + ∞[ . --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------