AIDE 2 DV n° 3 1S1 09

  AIDE 2            DV n° 3        1S1           28 / 11/ 09    

         PROBLEME n° 107         Livre Didier  

               Le plan est muni d'un repère orthonormal.

                  Soit  f( x ) = ( 2 x - 1 ) / ( x - 1 )     pour tout x dans IR- { 1 }.

               1.Déterminer deux réels a et b tels que pour tout x dans IR- { 1 } ,

                   f( x ) = a +  b / ( x - 1 ).

                   Pour obtenir a et b trois méthodes sont possibles.

                              • La division de 2 x - 1 par x - 1.

                              • On ajoute  - 2 + 2 au numérateur pour avoir  ( 2 x  - 2 ) + 2 - 1.

                              • On pose : a +  b / ( x - 1 ) = ( 2 x - 1 ) / ( x - 1 )   

                                  pour tout x dans IR- { 1 }.

                                 Puis , après une réduction au même dénominateur on

                                 identifie les numérateurs.

              2. En déduire le tracé de la courbe ( C ) représentant  f  avec

                  pour unité graphique 1 cm.

                      La courbe de la fonction f: x→ a +  b / ( x - 1 ) s'obtient

                      à partir de celle de la fonction   x→ b / x   à l'aide de la

                      translation t de vecteur  1 vect( i ) + a vect ( j ).

              3. Soit la droite d'équation y = - x + 1.

                 a. Tracer D sur le même graphique que ( C ).   

                      

                 b. Résoudre l'inéquation f( x ) ≤ - x + 1.

                        Remplacer f( x ) par son expression.

                        Obtenir une inégalité  x² / ( x - 1 ) ≤ 0   à résoudre dans IR- { 1 }.

                 c. Interpréter graphiquement .

                      Régarder quand a-t-on la droite D au dessus, au sens large,

                      de la courbe ( C ). 

               4. Pour tout réel m , on note Dm   la droite d'équation y = - x + m.

                    a. Que peut-on dire des droites D et Dm ?

                          Comparer les cœfficients directeurs.

                    b. Conjecturer graphiquement le nombre de points communs

                         à  C  et  Dm   suivant  les valeurs de m.

                         Mettre la règle sur la droite  D1   c-à-d sur D.

                         Faire glisser la règle en conservant sa direction.

                         Chaque position de la règle correspond  à une droite Dm .

                         On lit la valeur de m sur l'axe des ordonnées.

                         Constater le nombre de points communs entre la courbe ( C )

                         et la règle en notant la valeur de m.

                          Présenter dans un texte la discussion.

                    c. Retrouver  les résultats par le calcul.

                        Considérer :            f( x ) - ( - x + m) = 0           avec  x dans IR- { 1}.

                         Obtenir       x² + ( 1 - m ) x + m - 1 = 0                ( 1 )

                                             avec  x dans IR- { 1}.

                        Calculer le discriminant  Δm  qui est fonction de m.             

                         Discuter suivant m le signe de  Δm .

                         On pourra  faire un tableau:

m   - ∞              1                   5               + ∞  
Signe de Δm                                                                                                             
Nombre de racines de    (1 )                          

                         Présenter dans un texte la discussion. 

                5. Reprendre la question 4. pour les droites Δm d'équation

                        y = m x + 1.

                    a. Quel est le point commun J de D et de toutes les droites Dm  ?

                    b. Mettre la règle sur la droite D-1 c-à-d sur la droite D.

                         Faire pivoter la règle autour du point J.

                        Chaque position de la règle correspond à une droite Dm .

                         Noter, dans une discussion suivant m , le nombre de points

                         communs visibles entre la règle et la courbe ( C ).

                     c. Considérer    f( x ) -  ( m x + 1) = 0  avec x dans IR - { 1 }.

                         Obtenir une équation :  x ( - m x + m + 1)  = 0  avec x dans IR- { 1 }.

                         Discuter suivant  m = 0  ou  m ≠ 0  le nombre de solutions  .

                         Conclure par un texte qui indique suivant m le nombre de points

                         communs entre ( C ) et la droite  Dm                        

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