DS n 3 1S1 18 /11 / 09

                  DS n° 3      1S1      18 /11/09                     

       EXERCICE  1.     6 POINTS

                                  Le plan P est muni d'un repère orthonormal 

                                    .           ( unité graphique: 2 cm )

                           Soit les points A( 0 ; 4 ) , B( 2 ; 6 ) , C( 5 ; 0 ) du plan.

                           Soit G l'isobarycentre des points A, B , C.

                           Soit H le barycentre des points pondérés ( A , 2 ) et  ( C , 1).

           1.  Donner les coordonnées du point G.

                Placer les points A, B , C , H et G dans le repère.

           2.   a. Soit M un point quelconque du plan.

                      Réduire, à l'aide de la propriété fondamentale, les vecteurs:

                            ,    

                  b. Déterminer et représenter l'ensemble:

                             

           3.  a. Trouver la distance AC.

                b. Déterminer et représenter l'ensemble:

                              

           4. A tout point M du plan on associe le point M' tel que:

                                              ( 1 )

                 a. Montrer que ( 1 ) peut s'écrire : 

                                                 

                 b. Quelle est la transformation plane h qui au point  M asssocie le point M' ?

                 c. Placer le point O', image du point O par h.

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             EXERCICE  2.           5 POINTS

                    Soit  L et  F  deux points du cercle trigonométrique dont 

                     ,      sont respectivement des abscisses curvilignes.

                                            

                  1. Donner toutes les abscisses curviligne de L.

                  2. Donner une mesure ( en radians  ) de l'arc orienté  arc ( LF ).

                      Par définition, c'est aussi une mesure de l'angle orienté   . 

                  3. Soit l'angle orienté   dont une mesure est :

                          radians.

                    a. Déterminer l'entier relatif k tel que:

                          soit dans l'intervalle ] - Π  ,  Π ] .

                        On pourra écrire pour cela un encadrement de

                        .

                    b. Pour l'entier relatif k trouvé, calculer 

                         .

                        C'est la mesure principale de l'angle orienté    .

                    c. Que peut-on dire , selon vous, des angles orientés : 

                             et     ?

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         EXERCICE 3                        4 POINTS

                      Le but de l'exercice est de prouver l'alignement de trois points.

                      Soit ABC un triangle direct quelconque. I est le point tel  que:

                                                            

                       Le point K est le symétrique du point A par rapport au point C.

                       Soit J le milieu du segment [ BC].

                      1. Faire une figure.

                      2. Exprimer I , K , J comme barycentre chacun de deux points pondérés.

                      3. Quel est le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) , ( B , 2 )

                           ( B , - 2 ) et ( C , - 2 )?

                      4. A l'aide des points I et J , en déduire l'alignement de K avec I et J.

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             EXERCICE 4                     5 POINTS

                        Le but de l'exercice est de trouver une aire maximale.

                        ABC est un triangle équilatéral direct de côté de longueur 5 cm.        

                                           

                        Soit un réel x dans l'intervalle [ 0 , 5].

                        On note L le barycentre des points pondérés ( A , 5 - x ) et ( B , x ).

                         1.  Exprimer le vecteur    à partir du vecteur .

                              En déduire la distance AL puis la distance BL.

                         2. On place le point  N sur le côté [AC] ,les points P et Q sur le côté  [ BC]

                             de façon que LPQN soit un rectangle direct.

                             a. Que peut-on dire du triangle ALN ?

                                 Que vaut LN ? PQ ?

                             b. A l'aide du triangle rectangle BPL trouver la distance LP

                                 en fonction de x.    

                             c. Montrer que l'aire du rectangle LPQN est :

                                 S( x ) =  ( - x² + 5 x )     cm²

                         3. Pour quelle valeur de x l'aire du rectangle est-elle maximale?                   

                         4. Faire une figure . On prendra  pour la figure comme valeur pour x

                              .

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                                                               Bon    Courage

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