INFO 1 DV n°3 1S1 28 nov 09

  INFO 1    DV n° 3     1S1        25 novembre 2009

        PROBLEME    n ° 106       Livre Didier

             Les réponses sont dans   INFO 1  D ,  INFO 2   D ,  INFO 3  D .

                 Figure de l'énoncé.        

                    

      1. Indiquons l'intervalle décrit par x.

             On a :    AD = 4    ,   AM = x     et     M dans [AD].

               Conclusion: x décrit l'intervalle [0 ; 4]. 

           a. Indiquons  la nature du triangle BPN.

                   Il est rectangle et isocèle en P.

                    En effet:

                        • Comme le quadrilatère AMNP est un rectangle , les côtés

                           [NP] et [AP] sont orthogonaux.  P est dans [AB].

                           Ainsi l'angle géométrique  est droit.

                          • L'angle BPN vaut 45°.

                                Pour cela établissons que le triangle BHC est rectangle

                               et isocèle en B.

                             En effet:

                                •• Comme ADCH est un rectangle  et H dans [ AB]

                                    le triange BHC  est rectangle en H .

                                 ••  CH = DA = 4  et AH = DC = 2  comme ADCH est un rectangle.   

                                       Ainsi  BH = BA - AH = BA - DC = 6 - 2 = 4

                                       Donc       BH = CH = 4

                                       On a bien  l'angle en B qui vaut 45° .

             b. Déduisons BP en fonction de x.

                   Comme le triangle BPN est isocèle en P on a :  

                                 BP = PN

                    Mais les côtés [PN] et [ AM] du rectangle AMNP sont égaux.

                   Ainsi :       PN = AM = x

                  D'où           BP = x

                          Conclusion:    BP = x           

              c. Montrons que l'aire du rectangle AMNP est :  f( x ) = - x² + 6 x

                        L'aire du rectangle AMNP est : f( x ) = AM × AP

                        On a :  AM = x

                        De plus    AP = AB - BP   sachant P est dans [AB].

                        AB = 6    et  BP = x

                        D'où     AP = 6 - x

                       Ainsi :    f( x ) = x × ( 6 - x ) = - x² + 6 x

                       Conclusion:   f( x ) = - x² + 6 x   

           d. Dressons le tableau de variation de la fonction f

             définie sur [0 ; 4 ].

                           On a:     f( x ) = a x² + b x + c   pour tout x dans  [ 0 ; 4 ]

                          avec :   a = - 1       b  =  6           c = 0

                                                          b' = 3 

                            Ainsi:    a < 0

                         - b / ( 2a ) = - b' / a = - 3 / ( - 1 ) = 3 

                            Δ' = b' ² - a c  

                            Δ' = 9 

                           - Δ / (4a) = - Δ' / a =  - 9 / ( - 1)

                          - Δ / (4a)  =   9             

x 0                            3                 4
f( x ) 0             ↑             9           ↓       8

                               f atteint son maximum 9 pour x = 2

                   3. a. Calculons l'aire du trapèze rectangle ABCD.

                        Son aire est:       A( x ) = [( AB + DC ) / 2  ] ×  AD

                        c-à-d                    A( x ) = [ ( 6 + 2 ) / 2  ] ×  4 = 16

                           Conclusion:   L'aire du trapèze ABCD est 16. 

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