INFO 4 DS n° 3 1S1 18/11/09

                 INFO 4           DS n° 3      1S1          18 / 11 / 09             

          EXERCICE 4                     5 POINTS

                        Le but de l'exercice est de trouver une aire maximale.

                        ABC est un triangle équilatéral direct de côté de longueur 5 cm.        

                                           

                        Soit un réel x dans l'intervalle [ 0 , 5].

                        On note L le barycentre des points pondérés ( A , 5 - x ) et ( B , x ).

                         1.  Exprimer le vecteur    à partir du vecteur .

                              En déduire la distance AL puis la distance BL.

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    Réponse:                           On a :

                           

                           De plus :

                               

                           Conclusion:   AL = x     et    BL = 5 - x   

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                     2. On place le point  N sur le côté [AC] ,les points P et Q sur le côté  [ BC]

                             de façon que LPQN soit un rectangle direct.

                             a. Que peut-on dire du triangle ALN ?

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   Réponse:

                           Le triangle équilatéral ABC a ses trois angles intérieurs qui mesurent 60°.

                              Le segment [LN] est parallèle au segment [AB].

                              Ainsi:

                                    

                                 Conclusion: Le triangle ALN est équilatéral.     

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                                 Que vaut LN ? PQ ?

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      Réponse:  

                                   Comme le triangle ALN est équilatéral on a :

                                            LN = AL = x

                                   Mais LPQN est un rectangle.

                                     Donc   PQ = LN  

                               Conclusion:   LN = x  et  PQ = x                             

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                       b. A l'aide du triangle rectangle BPL trouver la distance LP

                                 en fonction de x.  

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   Réponse:      

                          Regardons déjà la nature du triangle BPL

                                       

                        Conclusion:       LP  vaut : 

                                                    

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                             c. Montrer que l'aire du rectangle LPQN est :

                                 S( x ) =  x² + 5 x       cm²

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    Réponse:

                            LPQN  est un rectangle .

                             Ainsi:

                                     

                  On peut dire aussi :     S( x ) =   ( - x² + 5 x )                 

                            Conclusion: On a bien le résultat.

                                                S( x ) =    ( - x² + 5 x )    cm²

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                         3. Pour quelle valeur de x l'aire du rectangle est-elle maximale? 

                               On a:  S( x ) =   ( - x² + 5 x )     

                                L'expression - x² + 5 x est de la forme  a x² + b x + c 

                                avec   a < 0            a  = - 1         b = 5           c = 0

                                S( x ) atteint donc son maximum pour x = -  b / ( 2 a ).     

                                Or:  

                                                

                                Conclusion:   On a  S( x ) qui est maximal pour x égale à 

                                                               2,5 

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                              4. Faire une figure . On prendra  pour la figure comme valeur pour x

                                         ( environ 2 ,89 ).  

                                  Voir la figure de l'énoncé

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