INFO 1 EXERCICE n° 74 ANGLES ORIENTES TRIGO. 1 S 02 / 12 / 09
PREMIERE QUESTION DE L'EXERCICE:
EXERCICE n° 74
1. Résoudre dans IR , puis dans ] - Π , Π ] enfin dans [ 0 ; 3 Π ]
l'équation: cos 3 x = 1 / 2.
2. Résoudre dans IR puis dans ] - Π , Π ] enfin dans [ 0 ; 3 Π ]
l'équation: sin 2 x = √2 / 2
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Réponse:
1. Résolution dans IR de l'équation : cos 3 x = 1 / 2.
On sait que : cos Π / 3 = 1 / 2
L'équation donnée s'écrit donc :
cos 3 x = cos Π / 3
c-à-d
3 x = Π / 3 [ 2 Π ] ou 3 x = - Π / 3 [ 2 Π ]
c-à-d en divisant par 3
x = Π / 9 [ 2 Π / 3 ] ou x = - Π / 9 [ 2 Π / 3 ]
Donc :
Conclusion:
SIR = { Π / 9 + 2 k Π / 3 avec k dans Z } U { - Π / 9 + 2 k Π / 3 avec k dans Z }
Pour la résolution dans un autre intervalle il faut faire
l'inventaire de éléments de SIR qui s'y trouvent.
METHODE:
• Dans ] - Π , Π ].
• • Il faut chercher les entiers relatif k tels que :
- Π < Π / 9 + 2 k Π / 3 ≤ Π.
Puis calculer Π / 9 + 2 k Π / 3 pour les entiers k
éventuels trouvés .
• • Il faut chercher les entiers relatif k tels que:
- Π < - Π / 9 + 2 k Π / 3 ≤ Π.
Puis calculer - Π / 9 + 2 k Π / 3 pour les entiers k
éventuels trouvés.
METTONS EN PRATIQUE LA METHODE
• Dans ] - Π , Π ].
•• - Π < Π / 9 + 2 k Π / 3 ≤ Π
c-à-d - 1 < 1 / 9 + 2 k / 3 ≤ 1
c-à-d - 1 - 1 / 9 < 2 k / 3 ≤ 1 - 1 / 9
c-à-d - 10 / 9 < 2 k / 3 ≤ 8 / 9
c-à-d - 5 / 3 < k ≤ 4 / 3 en multipliant par 3 / 2
Or - 5 / 3 ≈ -1,6 et 4 / 3 ≈ 1,3
Donc k = - 1 ou k = 0 ou k = 1
On obtient respectivement:
Π / 9 - 2 Π / 3 = - 5 Π / 9
Π / 9
Π / 9 + 2 Π / 3 = 7 Π / 9
•• Pour - Π < - Π / 9 + 2 k Π / 3 ≤ Π
il est inutile de refaire le travail , il suffit de prendre les valeurs
opposées à celles trouvées.
En effet : Ni - Π ni Π ne sont solution donc sur ] - Π , Π [ , la fonction cos étant paire,
elle aura la même valeur aussi en 5 Π / 9 , - Π / 9 , - 7 Π / 9
Conclusion : S] - Π,Π ] = { - 5 Π / 9 , Π / 9 , 7 Π / 9 , 5 Π / 9 , - Π / 9 , - 7 Π / 9 }
• Dans [ 0 , 3Π ].
• • Il faut chercher les entiers relatif k tels que 0 ≤ Π / 9 + 2 k Π / 3 ≤ 3Π.
Puis calculer Π / 9 + 2 k Π / 3 pour les entiers k
éventuels trouvés.
• • Il faut chercher les entiers relatif k tels que 0 ≤ - Π / 9 + 2 k Π / 3 ≤ 3Π.
Puis calculer - Π / 9 + 2 k Π / 3 pour les entiers k éventuels trouvés. METTONS EN PRATIQUE LA METHODE
• Dans [ 0 , 3Π ].
•• 0 ≤ Π / 9 + 2 k Π / 3 ≤ 3 Π
c-à-d 0 ≤ 1 / 9 + 2 k / 3 ≤ 3
c-à-d - 1 / 9 ≤ 2 k / 3 ≤ 3 - 1 / 9
c-à-d - 1 / 9 ≤ 2 k / 3 ≤ 26 / 9 en multipliant par 3 / 2.
c-à-d - 1 / 6 ≤ k ≤ 13 / 3
Or - 1 / 6 ≈ - 0,17 et 13 / 3 ≈ 4,3
Donc k = 0 ou k = 1 ou k = 2 ou k = 3 ou k = 4
On obtient respectivement:
Π/ 9
Π / 9 + 2 Π / 3 = 7Π / 9
Π / 9 + 4 Π / 3 = 13Π / 9
Π / 9 + 6 Π / 3 = 19Π / 9
Π / 9 + 8 Π / 3 = 25Π / 9
•• Pour 0 ≤ - Π / 9 + 2 k Π / 3 ≤ 3 Π
[ 0 , 3 Π ] n'est pas symétrique par rapport à O.
On ne peut donc pas éviter le travail.
Considérons: 0 ≤ - 1 / 9 + 2 k / 3 ≤ 3
c-à-d 1 / 9 ≤ 2 k / 3 ≤ 3 + 1 / 9
c-à-d 1 / 9 ≤ 2 k / 3 ≤ 28 / 9
c-à-d 1 / 6 ≤ k ≤ 14 / 3
Or 1 / 6 ≈ 0,17 et 14 / 3 ≈ 4,6
Donc k = 1 ou k = 2 ou k = 3 ou k = 4
On obtient respectivement:
- Π / 9 + 2 Π / 3 = 5Π / 9
- Π / 9 + 4 Π / 3 = 11 Π / 9
- Π / 9 + 6 Π / 3 = 17 Π / 9
- Π / 9 + 8 Π / 3 = 23 Π / 9
Conclusion:
S[ 0 , 3Π ] = { Π/ 9 , 7Π / 9 , 13Π / 9 , 19Π / 9 , 25Π / 9 , 5Π / 9 ,11 Π / 9 , 17 Π / 9 , 23 Π / 9 }
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Voir l'INFO 2 pour la seconde question.