INFO EXERCICE n° 74 ANGLES ORIENTES TRIGO. 1 S 02 / 12 / 09
SECONDE QUESTION DE L'EXERCICE:
EXERCICE n° 74
1. Résoudre dans IR , puis dans ] - Π , Π ] enfin dans [ 0 ; 3 Π ]
l'équation: cos 3 x = 1 / 2.
2. Résoudre dans IR puis dans ] - Π , Π ] enfin dans [ 0 ; 3 Π ]
l'équation: sin 2 x = √2 / 2
--------------------------------------------------------------------------------------------
Réponse:
Pour la question 1 voir l'INFO 1.
2. Résolvons dans IR l'équation:
sin 2 x = √2 / 2
On sait que : sin Π / 4 = √2 / 2
L'équation donnée s'écrit donc:
sin 2 x = sin Π / 4
c-à-d
2 x = Π / 4 [ 2 Π ] ou 2 x = Π - Π / 4 [ 2 Π ]
c-à-d
x = Π / 8 [ Π ] ou 2 x = 3 Π / 4 [ 2 Π ]
c-à-d
x = Π / 8 [ Π ] ou x = 3 Π / 8 [ Π ]
Conclusion:
SIR = { Π / 8 + k Π avec k dans Z } U { 3 Π / 8 + k Π avec k dans Z }
• Résolution dans ] - Π , Π ] .
•• Considérons - Π < Π / 8 + k Π ≤ Π
c-à-d - 1 < 1 / 8 + k ≤ 1
c-à-d - 1 - 1 / 8 < k ≤ 1 - 1 / 8
c-à-d - 9 / 8 < k ≤ 7 / 8
Or - 9 / 8 ≈ - 1,1 et 7 / 8 ≈ 0,8
Donc k = - 1 ou k = 0.
On obtient respectivement:
Π / 8 - Π = - 7 Π / 8
Π / 8
•• Considérons - Π < 3Π / 8 + k Π ≤ Π
c-à-d - 1 < 3 / 8 + k ≤ 1
c-à-d - 1 - 3 / 8 < k ≤ 1 - 3 / 8
c-à-d - 11 / 8 < k ≤ 5 / 8
Or - 11 / 8 ≈ - 1,3 et 5 / 8 ≈ 0,6
Donc k = - 1 ou k = 0
On obtient donc respectivement:
3Π / 8 - Π = - 5 Π / 8
3Π / 8
Conclusion:
S] - Π , Π ] = { - 7 Π / 8 , Π / 8 , - 5 Π / 8, 3Π / 8 }
• Résolution dans [ 0 , 3Π ] .
•• Considérons 0 ≤ Π / 8 + k Π ≤ 3Π
c-à-d 0 ≤ 1 / 8 + k ≤ 3
c-à-d - 1 / 8 ≤ k ≤ 3 - 1 / 8
c-à-d - 1 / 8 ≤ k ≤ 23 / 8
Or - 1 / 8 ≈ - 0,1 et 23 / 8 ≈ 2,8
Donc k = 0 ou k = 1 ou k = 2
On obtient respectivement:
Π / 8
Π / 8 + Π = 9Π / 8
Π / 8 + 2 Π = 17Π / 8
•• Considérons 0 ≤ 3Π / 8 + k Π ≤ 3Π
c-à-d 0 ≤ 3 / 8 + k ≤ 3
c-à-d - 3 / 8 ≤ k ≤ 3 - 3 / 8
c-à-d - 3 / 8 ≤ k ≤ 21 / 8
Or - 3 / 8 ≈ - 0,3 et 21 / 8 ≈ 2,6
Donc k = 0 ou k = 1 ou k = 2
On obtient respectivement:
3Π / 8
3Π / 8 + Π = 11Π / 8
3Π / 8 + 2Π = 19 Π / 8
Conclusion:
S [0, 3Π ] = { Π / 8 , 9Π / 8 , 17Π / 8 , 3Π / 8 , 11Π / 8, 19 Π / 8 }
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------