INFO 1 SERI E EX PROD SCAL

 

   INFO 1 SERIE D'EXERCICES      PRODUIT SCALAIRE 

  1S1  JANVIER 2010

 

      EX.1    

                  

               Soit ABC un carré direct de côté de longueur 4.

               Calculer les quatre produits scalaire :

                          

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 Réponse:

   1. Calcul de   .   .

  • Première méthode:

        ABCD est un carré.

    Ainsi le vecteur   est le projeté orthogonal du

    vecteur sur le vecteur non nul  .

    Donc:

                 .   =   .  

 c-à-d      .     = AB² = 4² = 16

         Conclusion:      .     = 16         

     • Seconde méthode:

  On a:      .   =  AB × AC cos(    ,   )

 c-à-d       .   =  4 ×  4√2 cos( Π / 4)

 c-à-d       .   = 16 √2  ( √2 / 2 ) = 16

        Conclusion:      .     = 16                

    2. Calcul du produit scalaire  .  .

        Les deux vecteurs  et   sont

        orthogonaux.

        Conclusion:    . = 0

    3. Calcul du produit scalaire   .  .      

        Les  deux vecteurs sont opposés.

        Donc :

           .  . = - AB × AB = - 16

 Conclusion:   .   = 16  

     4. Calcul du produit scalaire   . vect(DO ) .

 

          Le point O se projette orthogonalement

 

          en I , milieu de [ AB] sur le côté [AB].

          On a :   =  ( 1 / 2 ) 

          Le vecteur ( 1 / 2 )     est donc

          le projeté orthogonal du vecteur

          sur le vecteur non nul  .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Ainsi:

 

            .  =   . ( 1/ 2 )

 c-à-d    .  = AB ×( 1 / 2) AB

 c-à- d       .  = 16 / 2 = 8

      Conclusion:  . = 8     

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