INFO EX3 DS n° 5 1S 27/01/10

          INFO EX 3  DS n ° 5              1S1     27 janvier 2010

        EXERCICE 3              4 POINTS

      Le plan est muni d'un repère orthonormal

       .

      On admet que la distance d'un point M0  du plan à la droite

      d'équation y = m x + p    est le quotient suivant :    . 

     1. Application : Soit le point  M0  ( 1 ; 0 ).


        Trouver la distance du point  M0  à la droite Δ d'équation y = x + 4.             

     2. En déduire l'aire du triangle ABM0  avec les points A( - 3 ; 1 ) et B( 1 ; 5 ).

     3. Calculer cos  .


     4. Trouver, en degrés au dixième près, la mesure de l'angle

                   
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       Réponse:

           1. Distance de  M0  ( 1 ; 0 )  à  la droite  Δ d'équation y = x + 4.   

                L'équation de Δ  s'écrit  aussi :

                                   x - y + 4 = 0.

               Donc la distance d de  M0   à    Δ  est :

                  

            Conclusion : La distance  d du point  M0   à    Δ   est  5 / √2

           2.  Déduisons l'aire S du triangle  ABM0  .

                 Soit H le point projeté orthogonal de  M0 sur ( AB ).

                       d = M0 H

                    Ainsi :

                             S  = ( 1 / 2 ) AB × d 

                            Le vecteur    a  pour coordonnées (   4 ; 4 )

 

                   Donc    AB = √( 4² + 4² ) =   √ 32  = 4 √2

                   De plus :  d = 5 /  √2

                   Ainsi   S = ( 1 / 2 ) × 4 √2  × ( 5 / √2 )

                        c-à-d    S  = 1  × 5 = 10

  Conclusion : L' aire du triangle   ABM0  est 10.

 

  3.  Calculons cos

        AB² = AM0² +   BM0²   - 2 AM0  × BM0cos   

         Donc  

                 cos       = ( AM0² +   BM0²    -   AB² ) /  (  2 AM0  × BM0 )

 

                 Les coordonnées du vecteur vecteur ( A M0 ) sont  ( 4; - 1 ).

                 Donc    AM0 2     = 4² + ( - 1 ) ² = 17

                 Les coordonnées du vecteur vecteur ( B M0 ) sont   (   0  ;   -5 ) .  

                     Donc    BM0 2     =  0² + ( - 5 )²   = 25

                En remplaçant par les valeurs on a :

                     cos       = ( 17 + 25 - 32 ) / ( 2 ×5 √17 )

               c-à-d 

                 cos       =  10 / ( 10√17 )

          Conclusion:   cos       =  1 / √17

         3.  Trouvons.

             On a :       cos      ≈  0,2425

                         Or     cos-1   0,2425   ≈  75,963°

              Conclusion :    ≈  76°   avec la précision demandée.

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