INFO1 DV n° 4 1S1 06 / 01 / 10
EXERCICE 33
Calcul de cos α sachant sin α = - 0, 4 dans chacun des cas
a. Soit α dans [ - Π , - Π / 2 ].
b. Soit α dans [ - Π / 2 , 0 ].
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Réponse:
On sait que cos²α + sin² α = 1 ( Formule de trigo )
Donc : cos²α = - sin² α + 1
Ici cela donne: cos²α = - ( - 0,4 )² + 1 = 0,84
Donc deux cas:
cos α = √ 0,84 si cos α ≥ 0
cos α = - √ 0,84 si cos α ≤ 0
a. Comme α dans [ - Π , - Π / 2 ] on a cos α ≤ 0.
Ainsi: cos α = - √ 0,84 = - 0,92
Conclusion: cos α = - √ 0,84
b. Comme α dans [ - Π / 2 , 0 ] on a cos α ≥ 0.
Ainsi: cos α = √ 0,84 = 0,92
Conclusion: cos α = √ 0,84
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EXERCICE 32
Soit : f( t ) = cos ( t + Π ) - sin( t + Π / 2 ) + 2 cos t
pour tout réel t.
1. Calculer f( 0 ) , f( Π / 2 ) , f( Π ) .
2. Simplifier f( t ) pour tout réel t.
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Réponse:
1. • On a : f(0) = cos Π - sin( Π / 2 ) + 2 cos 0 = - 1 - 1 + 2 × 1 = 0
Conclusion: f( 0 ) = 0
• On a : f( Π / 2 ) = cos ( Π / 2 + Π ) - sin( Π / 2 + Π / 2 ) + 2 cos (Π / 2 )
c-à-d f( Π / 2 ) = cos (3 Π / 2 ) - sin (Π ) + 2 cos( Π / 2 )
c-à-d f( Π / 2 ) = 0 - 0 + 2 × 0 = 0
Conclusion: f( Π / 2 ) = 0
• On a : f( Π ) = cos ( Π + Π)- sin( Π + Π / 2 ) + 2 cos Π
c-à-d f( Π ) = cos ( 2 Π ) - sin (3 Π / 2) + 2 cos Π
c-à-d f( Π ) = 1 - ( - 1 ) + 2 ( - 1 ) = 2 - 2 = 0
Conclusion: f( Π ) = 0
2. On a : f( t ) = 0 pour tout réel t.
En effet :
On a f( t ) = cos ( t + Π ) - sin( t + Π / 2 ) + 2 cos t
c-à-d f( t ) = - cos t - cos t + 2 cos t = 0
à l'aide de deux formules trigo.
cos ( Π + t ) = - cos t
sin( Π / 2 + t ) = cos t
Conclusion: f( t ) = 0 pour tout réel t.
Ce résultat justifie une seconde fois les résultats de la question 1.
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EXERCICE 33
Soit t un réel quelconque. Simplifier les expressions: a. cos( t + Π ) + cos( Π - t ) + sin( t + Π / 2 ) b. sin( Π / 2 - t ) - cos( - t ) + sin( Π - t ) + cos( t - Π / 2 ) c. cos( 3 Π + t ) - cos( t + 4 Π ) + sin( t + Π / 2 ) --------------------------------------------------------------------------------------------- Réponse: a. On a: cos( t + Π ) + cos( Π - t ) + sin( t + Π / 2 ) = - cos t - cos t + cos t Ainsi: Conclusion : cos( t + Π ) + cos( Π - t ) + sin( t + Π / 2 ) = - cos t b. On a: sin( Π / 2 - t ) - cos( - t ) + sin( Π - t ) + cos( t - Π / 2 ) = cos t - cos t + sin t + cos( Π / 2 - t ) c-à-d ( La fonction cos étant paire ) sin( Π / 2 - t ) - cos( - t ) + sin( Π - t ) + cos( t - Π / 2 ) = sin t + sin t Ainsi:
Conclusion : sin( Π / 2 - t ) - cos( - t ) + sin( Π - t ) + cos( t - Π / 2 ) = 2 sin t c. On a :
cos( 3 Π + t ) - cos( t + 4 Π ) + sin( t + Π / 2 ) = cos( 2 Π +Π + t ) - cos t + cos t
c-à-d
cos( 3 Π + t ) - cos( t + 4 Π ) + sin( t + Π / 2 ) = cos( Π + t )
c-à-d
cos( 3 Π + t ) - cos( t + 4 Π ) + sin( t + Π / 2 ) = - cos t
Conclusion : cos( 3 Π + t ) - cos( t + 4 Π ) + sin( t + Π / 2 ) = - cos t
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EXERCICE 34
Soit a = sin Π / 7 .
Exprimer sin( - Π / 7 ) , sin( 8 Π / 7 ) , cos ( 5 Π / 14 )
en fonction de a .
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Réponse:
• sin( - Π / 7 ) = - sin( Π / 7 ) = - a
• sin( 8 Π / 7 ) = sin( Π + Π / 7 ) = - sin( Π / 7 ) = - a
• cos ( 5 Π / 14 ) = cos ( Π / 2 - Π / 7 ) = sin ( Π / 7) = a
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