DV 6 1S 17/02/10

                    Devoir à la maison   n ° 6        1S1               17/02/10                  

              EXERCICE I   

            On appelle distance d'un point M à une droite D la distance

            qui sépare le point M du point H projeté orthogonal de M sur D,

            c'est-à-dire la distance MH.

                                                                

                Partie A.      Cas particulier avec un point M et une droite D particuliers.

                            Soit le point M( 1 ; 2 ) et la droite D : 2 x - y + 1 = 0 dans le plan P

                            muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ).

                            Soit H le projeté orthogonal du point M sur D.

           1. Tracer D et placer le point M.

            2. Déterminer une équation cartésiènne de la droite D1 perpendiculaire à D

                et passant par  le point M.

               Tracer   D1  .

           3. Déterminer les coordonnées du point H , ( aussi point d'intersection de D et   D1 ).

                Trouver alors la distance MH.

              Partie B.           Cas général .

                  Soit D la droite passant le point A et de vecteur normal vect( n ). 

                  Soit M un point quelconque du plan P.

                  Soit H le projeté  orthogonal du point M sur la droite D.

                                         

                  1.    Aspect géométrique.  .

                       a. Etablir l'égalité:    vect( AM ) . vect( n ) = vect( HM ) . vect( n )

                       b. Montrer que: 

                                   | vect( HM ) . vect( n ) | = HM × || vect( n ) || .

                           En déduire que la distance du point M à D est le réel positif d

                           tel que :

                                    d  = |  vect( AM ) . vect( n ) | / || vect( n ) ||

                     2.     Aspect   analytique ( c'est-à-dire cartésien )  

                          Le plan P est muni d'un repère orthonormal ( O ,vect( i ) , vect( j ) ).

                        Soit la droite D : a x + b y + c = 0.

                        Soit un  point  M( x , y ) quelconque du plan.

                        Soit A( xA , yA )  un point de D.

                       a. Etablir que:   

                                    vect( AM ) . vect( n ) = a x + b y + c

                           ( Ne pas oublier que les coordonnées de A vérifient

                              l'équation de la droite D )

                       b. En déduire  que la distance d de M à D est  :

                                d  = | a x + b y + c | /  √ ( a² + b² )

                       c. En considérant le point M( 1 ; 2 ) et la droite

                           D : 2 x - y + 1 = 0   de la partie A retrouver pour d

                           la distance MH .

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                   EXERCICE I I  

                    Le plan P est muni d'un repère orthonormal ( O ,vect( i ) , vect( j ) ).

                    Soit les droites:

                            D1 : y = x              Première bissectrice

                            D2 : y = - x              Seconde bissectrice

                            D3 : y = 3 x - 2

                            D4 : y = - 3 x - 4

                                   

                   1. Les droites  D1 : y = x  et  D3 : y = 3 x - 2 se coupent en E.

                       Les droites  D1 : y = x  et  D4 : y = - 3 x - 4 se coupent en F.

                         Donner les coordonnées des points  E et F.

                   2.  Les droites  D2 : y = - x  et  D3 : y = 3 x - 2 se coupent en G.

                       Les droites  D2: y = - x  et  D4 : y = - 3 x - 4 se coupent en H.

                         Donner les coordonnées des points G et H.

                    3. Donner une équation du cercle circonscrit  Γ au triangle EFG.

                    4. Montrer que les points E F G H sont cocycliques.

                         ( c'est-à-dire que les point EFGH sont sur un même cercle.)

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                  EXERCICE I I I                                  

                  Partie    A 

                            

 

                           Soit ABCD un rectangle de centre le point O.

                          Soit M un point quelconque du plan.

                     1. Etablir l'égalité :  MA² + MC² = MB² + MD²      ( 1 )

                     2. Montrer que :

                                   vect( MA ). vect (MC ) = vect( MB ) . vect(MD )      ( 2 )

 

                  Partie B    

                           A présent ABCD est un paralélogramme de centre O.

                          1. L'égalité (  1 ) permet -elle de dire que ABCD est un rectangle?

                          2.  L'égalité (  2 ) permet -elle de dire que ABCD est un rectangle?