FEUILLE D' EX 20 fév. 2010

               FEUILLE D'EXERCICES   1S1     20 février 2010       

      1.    Savoir déterminer un nombre dérivé par lecture graphique.    

               f est une fonction définie et dérivable dans IR. Sa courbe est C.

              T est la tangente à la courbe C de la fonction f au point d'abscisse a.

                ( L'équation de C n'est donnée que pour information. )

          a. Donnons f '( a ).   ( Sachant que a  = 2 )

               Les points de coordonnées ( 1 ; 0 )et ( 4 ; 3 ) sont sur la tangente T.

                f '( a ) = ( 4  - 1 ) / ( 3 - 0 ) = 3 / 3

                       Conclusion:   f '( a ) = 1       

                    Une équation de T est y = x - 1.

         b.  Donnons f '( a ).                   ( Sachant que a = - 3 )

                                 La tangente T est horizontale.

                      Conclusion : f '( a ) = 0                 

                     Une équation de T est y = 2.

               c. Donnons f '( a ).     (  sachant que  a = - 2 )

                Les points de coordonnées ( - 4 ; 3 ) et ( 0 ; 1 ) sont sur la tangente T.

                   f '( a ) = ( 1 - 3  ) / ( 0- ( - 4 ) ) = - 2 / 4 = - 1/ 2

                      Conclusion:   f '( a ) = - 1 / 2   

                 Une équation de T est y = - 0,5 x + 1.

              d. Donnons f '( a ).               ( Sachant que a = 1 )

                    Les points de coordonnées ( 1 ; 2 ) et ( 4 ; 3 ) sont sur la tangente T.

                     f ' ( a ) = ( 3 - 2 ) / ( 4 - 1 ) = 1 / 3

                    Conclusion:  f '( a ) = 1 / 3  

                    Une équation de T est y = ( 1 / 3 ) x + 5 / 3

      2.    Appliquer une formule .   

                Déterminons la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes:

               a.    f : x →  1,5 x³  - 7 x²  + 0,25 x - 5

                   Réponse:

                        f est une fonction polynome.

                        f est donc définie et dérivable dans IR.

                        On a directement:     

                             Conclusion:  f '  : x →  4,5 x²  - 14 x  + 0,25     

              b.     g: x →  1  / ( 3 x² + 1 )

                     Soit la fonction v : x  →   3 x² + 1

                      La fonction polynome  v est définie , dérivable , non nulle dans IR.

                      Ainsi la fonction 1 / v  c'est-à-dire g  est définie et dérivable dans IR.

                     On a :   g ' =   (1 / v ) ' = - v ' / v²   

                     Ici     v' : x  →   6 x

                      Donc :

                    Conclusion:  g '  : x →  - 6 x / (  3 x² + 1)²

               c.  h : x    →   ( x² - 3 x + 1 ) / ( 2 x + 1 )

                     Soit les fonctions polynomes   v :  →  2 x + 1    et u : x →    x² - 3 x + 1 .

                     u et v sont définies , dérivables dans IR - { - 1 / 2 } .

                     v est non nulle dans  IR - { - 1 / 2 } .

                      Ainsi la fonction   u / v   c'est-à-dire  h est définie et dérivable dans  IR - { - 1 / 2 } .

                     On a :   h ' =     ( u / v ) ' = ( v u' - u v'  ) / v²  

                     Ici :  u ' : x  → 2 x - 3            et       v ' : x → 2

                     Soit x dans IR - { - 1 / 2 } .

                     On a :

                             h ' ( x ) =  [ ( 2 x + 1 ) ( 2 x -  3 )  - ( x² - 3 x + 1 ) × 2   ] / ( 2 x + 1 )²

                    c-à-d   

                     c-à-d    h '( x ) = [   4 x² - 3 - 6 x + 2 x - 2 x² + 6 x - 2 ] /   ( 2 x + 1 )² 

                                    h '( x ) = (  2 x² + 2 x - 5 )  /  ( 2 x + 1 )²

                            Conclusion:  h '  : x →  (  2 x² + 2 x - 5 )  /  ( 2 x + 1 )²       

             d.    k : x  →  ( x² - 1 ) √x       sur IR*⁺

                       Soit les fonctions   u  : x  → x² - 1   et    v :  : x  → √x .

                       u et v sont définies et dérivables dans IR*⁺  .

                       Donc la fonction u v c'est-à-dire  k est définie et dérivable dans  IR*⁺  .

                           De plus on a : 

                          k ' =     (u v ) ' = u v ' + u '  v  

                          Ici     u ' : x   →   2 x     et     v ' : x   →  1 / ( 2 √x  )

                       Soit x > 0.

                              On a :   k '( x ) = ( x² - 1 )(   1 / ( 2 √x  ) ) + 2 x √x 

                             c-à-d

                                                   k ' ( x ) =  ( x² - 1 ) / ( 2 √x  ) ) + 2 x √x 

                             c-à-d

                                                   k ' ( x ) =  ( x² - 1 ) / ( 2 √x  ) ) + (2 x √x × 2 √x  )/( 2 √x  )

                              c-à-d

                                                   k ' ( x ) = [ ( x² - 1 ) +  4 x² ] / ( 2 √x  )

                              c-à-d              k ' ( x ) = ( 5 x² - 1 ) / ( 2 √x  )

                                            Conclusion:  k '  : x →  (  5 x² - 1 ) / ( 2 √x  )           

                      3.    Savoir utiliser des enchaînements de formules.          

                              Soit la fonction rationnelle f : x  →   (  ( x - 1 ) / ( x - 2 ) )²       sur IR - { 2 } .

                               Comme fonction rationnelle elle est dérivable sur son domaine de définition.

                  a . On peut poser   u : x  → ( x - 1 ) / ( x - 2 ) 

                        Alors il vient   f = u²        .

                  b. Donnons u ' .

                                 Comme u est une fonction rationnelle , elle est dérivable sur son domaine de

                                 dérivabilité.

                                 Soit  tout x dans IR - { 2 ] .

                                 On a:

                                 u (  x ) =  ( x   - 1  ) / ( x - 2 ) = (  x    - 2 + 1  ) ( x - 2 ) = 1 +  1 / ( x - 2 )

                                 On a :   u = 1 +  1 / v    avec  v : x →  x - 2

                                 Donc  u  ' =  (  1 / v ) ' = - v ' /  v²

                                 Mais     v ' : x → 1

                                 Dès lors     u ' ( x ) = - 1 / ( x - 2 )²

                                Conclusion:  u '  : x  →   - 1 / ( x - 2 )²  

                                 Mais  f ' =  ( u² ) ' = 2 u u ' 

                                 Ainsi f ' : x  →   2 (  ( x - 1 ) / ( x - 2 )  )  (  - 1 / ( x - 2 )² )

                c-à-d 

                                  f ' : x  → - 2 ( x - 1 ) / ( x - 2 )³

                                            Conclusion:    f ' : x  → - 2 ( x - 1 ) / ( x - 2 ^₎3 

                           4.    Savoir déterminer

                     a. Soit la fonction g : x →  √( 5 x - 3 )  sur l'intervalle ] 3 / 5 , + ∞ [.

                    Donnons g ' .

                    Soit  f : x →  √x.

                    On a :   g : x →  f( 5 x - 3 )     

                     f est définie et dérivable dans l'intervalle ]0 , + ∞ [.

                    Mais :     5 x - 3 > 0   ssi x est dans l'intervalle  ] 3 / 5 , + ∞ [.

                    Ainsi la fonction g : x →  f( 5 x - 3 ) est définie et dérivable

                   dans l'intervalle  ] 3 / 5 , + ∞ [ et l'on a :.

                       g' : x  → 5 f ' ( 5 x - 3 )

                    Or    f ' : x  → 1 / ( 2 √x)

                     Donc  g' : x  → 5 / ( 2 √( 5 x - 3 ) )

                     Conclusion:   g' : x  →  5 / ( 2 √( 5 x - 3 ) )          sur  ] 3 / 5 , + ∞ [.                  

                  b.  Soit la fonction g : x → ( 3 x + 1 )³    sur IR.

                       Donnons g ' .

                      Soit  f : x →  x³.

                      On a :   g : x →  f( 3 x +1 )     

                      f est définie et dérivable dans  IR.

                       Ainsi la fonction g : x →  f( 3 x + 1  ) est définie et dérivable

                      dans IR.

                        g' : x  → 3 f ' ( 3 x + 1  )

                       Or    f ' : x  → 3 x²      

                             Donc  g' : x  → 3 × 3( 3 x + 1 )²

                            c-à-d       g' : x  → 9( 3 x + 1 )²              

                     Conclusion:   g' : x  → 9( 3 x + 1 )²   sur IR

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