SPE TES

                         EXERCICE 1        8 POINTS
              Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O; vect( i ) , vect j ) ).
            Unité graphique : 2 cm
              Soit la fonction f : x → ( x² - x + 1 ) / x définie sur IR*.
              Soit ( C ) la courbe de la fonction f .
        1. Trouver trois réels a , b , c tels que : f( x ) = a x + b + c / x   pour tout x dans IR*.

On a en divisant par le réel non nul x chaque terme de x² - x + 1 il vient :

( x² - x + 1 ) / x = x - 1 + 1 / x pour tout réel x non nul.

Donc f( x ) = x - 1 + 1 / x pour tout réel x non nul.

            Conclusion:    a = 1       b = - 1     c = 1

        2. On sait, d'après le cours :
               • La fonction affine x→ a x + b    admet pour fonction dérivée la fonction sur x→ a sur IR.
               • La fonction inverse admet comme fonction dérivée sur IR* la fonction x → - 1 /x²   .
               • Sur un intervalle I la fonction dérivée d'une somme de deux fonctions dérivables est
                  la somme des fonctions dérivées des deux fonctions.

On désigne par f ' la fonction dérivée de la fonction f sur IR*.
Montrer que f '( x ) = ( x² - 1 ) / x² pour tout x dans IR*.

Soit x dans IR*.

On a : f( x ) = u( x ) + v( x ) avec u( x ) = x - 1 et v( x ) = 1 / x

Les fonctions u et v sont définies et dérivables dans IR*.

On a : u ' ( x ) = 1 et v ' ( x ) - 1 / x²

Donc : f ' ( x ) = u ' ( x ) + v ' ( x )

c-à-d f '( x ) = 1 + ( - 1 / x² )

c-à-d f ' ( x ) = ( x² - 1 ) / x²

Conclusion: f '( x ) = ( x² - 1 ) / x² pour tout x dans IR*.

3. Donner le signe de f ' ( x ) suivant x dans IR*.

( x² - 1 ) / x² est du signe de ( x - 1 ) (x + 1 ) pour tout x dans IR*.

Or ( x - 1 ) (x + 1 ) est un trinome du second degré qui s'annule pour x = - 1 ou x = 1.

Le coefficient de x² est 1.

Ainsi :

x	- ∞ - 1 0 1 + +∞
x² - 1	+ 0 - 0 +
f ' ( x )	+ 0 - \|\| - 0 +

4. On admet que si sur un intervalle I la fonction dérivée d'une fonction est positive
( respectivement négative ) alors la fonction est croissante sur I ( respectivement

décroissante sur I ) .

Donner le sens de variation de f .

• Comme f '( x) ≥ 0 pour tout x dans les intervalles ] - ∞ , - 1 ] et [ 1 , +∞ [ :

f est croissante sur les intervalles ] - ∞ , - 1 ] et [ 1 , +∞ [

• Comme f '( x) ≤ 0 pour tout x dans les intervalles [ -1 , 0 [ et ]0 , 1 ]:

f est décroissante sur les intervalles [ -1 , 0 [ et ] 0 , 1 ]:

5. On note Δ la droite, tangente à la courbe ( C ) , au point d'abscisse 1.

Quel est son coefficient directeur ? Donner une équation de cette droite Δ.

On a f '( 1 ) = 0 .

Le coefficient directeur de Δ est 0.

La tangente est horizontale. Tous lespoints de Δ ont pour ordonnée f( 1) = 1

Une équation de Δ est y = 1

6. Parmi les courbes suivantes indiquer celle de f.

La bonne courbe de f est celle de la figure 1 .

Puis reproduire celle de la fonction f sur IR*⁺?

Figure 1 C_k

Figure 2 C_h

Figure 3 C_ρ

7. a. Trouver une équation de la tangente T à la courbe ( C ) au point A( 2 ; 1,5 )

On a; y = f '( 2 ) ( x - 2 ) + f( 2 )

Or f '( 2 ) = 3 /4 f( 2 ) = 3 / 2

En reportant on a :

y = 3 / 4 ( x - 2 ) + 3 / 2

c-à-d y = 3 / 4 x - 3 / 2 + 3 / 2

Conclusion : T : y = 3 / 4 x

b. T passe-t-elle par O et A ?

OUI la tangente T passe par l'origine O car l'ordonnée à l'origine est nulle.

OUI la tangente T passe par le point A puique c'est la tangente en A à la courbe C.

T se trace en traçant la droite ( AO ).

c. Recherche d'une équation de D '.

La droite D' a un coefficient directeur m tel que ( 3 / 4 ) m = - 1

donc m = - 4 / 3

Son équation est de la forme y = (- 4 / 3 ) x + p

Les coordonnées du point A vérifient cette équation.

Donc 1 , 5 = ( - 4 / 3 ) 2 + p

c-à-d p =( 3 / 2 ) + ( 8 / 3 ) = ( 9 + 16 ) / 6 = 25 / 6

Conclusion : D ' ; y = ( - 4 / 3 ) x + ( 25 / 6 )

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