INFO 2 DV n° 6 1S 17 fév 2010

                     INFO    DV n° 6            1S   17 février 2010                                   

            EXERCICE I I  

                    Le plan P est muni d'un repère orthonormal ( O ,vect( i ) , vect( j ) ).

                    Soit les droites:

                            D1 : y = x              Première bissectrice

                            D2 : y = - x              Seconde bissectrice

                            D3 : y = 3 x - 2

                            D4 : y = - 3 x - 4

                                      

                  1. Les droites  D1 : y = x  et  D3 : y = 3 x - 2 se coupent en E.

                        Les droites  D1 : y = x  et  D4 : y = - 3 x - 4 se coupent en F.

                         Donner les coordonnées des points  E et F.

                        Conclusion :   Les systèmes de deux équations de  deux droites donnent : 

                           E( 1; 1 )  et F( - 1 ; -1)       

                 2.  Les droites  D2 : y = - x  et  D3 : y = 3 x - 2 se coupent en G.

                        Les droites  D2: y = - x  et  D4 : y = - 3 x - 4 se coupent en H.

                         Donner les coordonnées des points G et H.

                             Conclusion :   Les systèmes de deux équations de deux droites donnent : 

                              G( 1/ 2 ; - 1 / 2  )  et  H( - 2 ; 2 )     

                    3. Donner une équation du cercle circonscrit  Γ au triangle EFG.

                      Les points F et E sont sur la première bissectrice d'équation y = x

                      car l'abscisse égale l'ordonnée.

                       De plus ils sont symétriques par rapport à l'origine O

                       car ils ont des coordonnées opposées.

                       Ainsi la médiatrice du segment [ FE ] est la seconde bissectrice d'équation y = - x .

                       Le centre   Ω est donc de coordonnées de la forme ( a , - a ).

                        Le milieu I du segment [ GE ] a pour coordonnées ( 3 / 4 ; 1 / 4 ).

                        Le vecteur  vect (EG ) a pour coordonnées ( - 1 / 2 ; - 3 / 2 ).

                          La médiatrice du segment [GE] a une équation de la forme:

                             (- 1 / 2 )x + ( - 3 / 2 ) y + c = 0

                          Mais avec le point I on peut  dire :

       (- 1 / 2 )( 3 / 4 )  + ( - 3 / 2 ) ( - 3 / 2 )  + c = 0  c-à-d  - 6 / 8 + c = 0  c-à-d  c = 3 / 4

                            La médiatrice du segment [GE] a pour équation :

                            (- 1 / 2 )x + ( - 3 / 2 ) y  + 6 / 8 = 0

                           En remplaçant x par a et y par - a  il vient:  

                             - 0,5 a +1,5 a + 6 / 8 = 0   c-à-d  a = - 3 / 4

                               Le centre   Ω est donc de coordonnées ( - 3/ 4 ; 3 / 4 ).

                              On a :  R = = E Ω  = √ ( ( - 3 / 4 - 1 )² + ( 3 / 4 - 1 )² ) = √ ( 50 / 16 )

                                R = √ ( 25 / 8 )   

 

                        Conclusion : Le cercle est d'équation  ( x + 3 / 4 )² +(  y - 3 / 4 )² = 25 / 8      ( 1 )

             4. Le point H( - 2  ; 2 ) a ses coordonnées qui vérifient ( 1 )  .

                                  Conclusion :   Oui   H est sur  Γ  comme EFG.

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