INFO DV n° 6 1S1 17 fév 09

                                              INFO    DV n° 6              1S1      1 7 février 2010        

                          EXERCICE I   

            On appelle distance d'un point M à une droite D la distance

            qui sépare le point M du point H projeté orthogonal de M sur D,

            c'est-à-dire la distance MH.

                                                                

                Partie A.      Cas particulier avec un point M et une droite D particuliers.

                            Soit le point M( 1 ; 2 ) et la droite D : 2 x - y + 1 = 0 dans le plan P

                            muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ).

                            Soit H le projeté orthogonal du point M sur D.

           1. Tracer D et placer le point M.

                                                  ( Voir ci-dessus la figure ) 

            2. Déterminer une équation cartésiènne de la droite D1 perpendiculaire à D

                et passant par  le point M.

                   • On a la droite D : y = 2 x + 1 .

                    Son coefficient directeur est donc 2.

                   Celui de la droite D1  qui lui est orthogonale sera donc - 1 / 2.

                   L'équation réduite de  D1   est donc de la forme  y = ( - 1 / 2 ) x + b.

                    •  La droite  D1  passe par le point M( 1 ; 2 ).

                         Donc :   2 = ( - 1 /  2 ) +b                    c-à-d   b = 2 + ( 1 / 2 ) = 5 / 2

                       Conclusion : On a la droite   D1 : y = ( - 1 / 2 ) x + ( 5 / 2 )      

               Tracer   D1  . 

                    ( Voir ci-dessus  la figure ) 

           3. Déterminer les coordonnées du point H , ( aussi point d'intersection de D et   D1 ).

               Les coordonnées du point H , qui est sur les droites D et  D1  , vérifie le système de 

              leur deux équations.

               Considérons le système:                   2 x - y + 1 = 0 

                                                                        y =   - 0,5 x + 2,5    

                 c-à-d ( en reportant )    

                                    2x - (    - 0,5 x + 2,5    ) + 1 = 0

                                     y = - 0,5 x + 2,5

                c-à-d              

                                     2, 5 x - 1,5 = 0

                                     y = - 0,5 x + 2,5

                c-à-d              x = 1,5 / 2, 5 =   3 / 5 

                                      y = - 0,5 (   3 / 5  ) + 2,5 = - 3 / 10  + 25 / 10 =  22 / 10 = 11 / 5

                          Conclusion : On a    le point H(  3 / 5  ;  11 / 5 )  

                Trouver alors la distance MH.

                      On a le  vect( MH)  de coordonnées ( 3 / 5 - 1 ; 11 / 5 - 2 )  c-à-d ( - 2 / 5 ; 1 / 5 )

                     Donc MH = √(  ( - 2 / 5 )² + ( 1 / 5 )² ) = √(  4 /25 + 1 /25 ) =√(  5 / 25 ) = √(  1 / 5 )

                      Conclusion : On a  MH =  √(  1 / 5 )     

              Partie B.           Cas général .

                  Soit D la droite passant le point A et de vecteur normal vect( n ). 

                  Soit M un point quelconque du plan P.

                  Soit H le projeté  orthogonal du point M sur la droite D.

                                         

                  1.    Aspect géométrique.  .

                       a. Etablir l'égalité:    vect( AM ) . vect( n ) = vect( HM ) . vect( n )

                            Cela résulte du fait que  vect( HM ) est le projeté orthogonal du vect( AM ) sur le vect( n ). 

                       b. Montrer que: 

                                   | vect( HM ) . vect( n ) | = HM × || vect( n ) || .

                             Cela résulte du fait que  les vecteurs vect HM )et vect(n ) sont colinéaires.     

                           En déduire que la distance du point M à D est le réel positif d

                           tel que :

                                    d  = |  vect( AM ) . vect( n ) | / || vect( n ) ||

            Comme   | vect( HM ) . vect( n ) | = HM × || vect( n ) ||   et    vect( AM ) . vect( n ) = vect( HM ) . vect( n )

                      on en déduit :   | vect( AM ) . vect( n ) | = HM × || vect( n ) ||  

                               Donc   HM  = |  vect( AM ) . vect( n ) | / || vect( n ) ||

                              Conclusion : On a  d =  |  vect( AM ) . vect( n ) | / || vect( n ) ||   

                     2.     Aspect   analytique ( c'est-à-dire cartésien )  

                          Le plan P est muni d'un repère orthonormal ( O ,vect( i ) , vect( j ) ).

                        Soit la droite D : a x + b y + c = 0.

                        Soit un  point  M( x , y ) quelconque du plan.

                        Soit A( xA , yA )  un point de D.

                       a. Etablir que:   

                                    vect( AM ) . vect( n ) = a x + b y + c

                           ( Ne pas oublier que les coordonnées de A vérifient

                              l'équation de la droite D )

                         On a :   vect( AM ) . vect( n ) = ( x - xA  ) a  + ( y - yA  ) b

                         c-à-d     vect( AM ) . vect( n ) = a x  + b y - a xA  - yA b

                         Mais comme A est sur la droite D on a

                          a xA  + yA b  + c = 0    c-à-d       - a xA  - yA b = c

                            Donc :

                                Conclusion : On a  vect( AM ) . vect( n ) = a x  + b y  + c   

                       b. En déduire  que la distance d de M à D est  :

                                d  = | a x + b y + c | /  √ ( a² + b² )

                          On a :    d = |  vect( AM ) . vect( n ) | / || vect( n ) ||

                           Donc d'après lab question précédente :

                                       d = |  a x + b y + c | /  || vect( n ) ||

                           Or  || vect( n ) ||  = √ ( a² + b² )

                            Donc :

                             Conclusion : On a    d  = | a x + b y + c | /  √ ( a² + b² ) 

                       c. En considérant le point M( 1 ; 2 ) et la droite

                           D : 2 x - y + 1 = 0   de la partie A retrouver pour d

                           la distance MH .

                             On a :     d =  | 2 ( 1 ) - ( 2 ) + 1 | /   √ ( 2² + ( - 1 )² ) 

                            c-à-d       d =  1 / √ 5

                                  Conclusion : On a    MH =  1 / √ 5   

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