INFO 1LISTE EX LIM-DERIV 1S

       INFO    LISTE D'EXERCICES           LIMITES    DERIVEES               1S1          19 mars 2010 

              EXERCICE  1. 

               Soit la fonction f : x → 4 - x + 1 / x  de courbe ( C ) dans un repère orthonormal du plan.

               Montrer que la droite oblique D: y = 4 - x est une asymptote à ( C ) en + ∞.

                  

       Réponse:

             •  La fonction f est définie sur ] - ∞ , 0 [ U ] 0 , + ∞ [.

               Ainsi + ∞  est une extrémité d'un des intervalles du domaine de définition de f.

              On peut faire la recherche.

             • Soit x > 0.

             On a :     f( x ) = ( 4 - x ) + 1 / x

            Ainsi:       f( x ) - ( 4 - x ) = 1 / x

                Mais :     lim 1 / x = 0

                             x → + ∞

              Donc      lim (  f(x ) -  ( 4 - x ) ) = 0

                             x → + ∞

                 Conclusion:   La droite D: y = 4 -x  est une asymptote à la courbe de f en + ∞   

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               EXERCICE  2. 

               Soit la fonction f : x → (x² - 3 x + 4 ) / ( x - 3 ) de courbe ( C ) dans un repère orthonormal du plan.

               Montrer que la droite oblique D: y =  x   est une asymptote à ( C ) en + ∞.    

                                          

  Réponse:

             •  La fonction f est définie sur ] - ∞ , 3 [ U ] 3 , + ∞ [.

                     Ainsi + ∞  est une extrémité d'un des intervalles du domaine de définition de f.

              On peut faire la recherche.

             • Soit x > 3.

                      f( x ) = ( x² - 3 x + 4 ) / ( x - 3 )

                      c-à-d     f( x ) =  [  x  ( x - 3 )  + 4  ] / ( x - 3 ) 

           c-à-d     f( x ) =   x ( x - 3 ) / ( x - 3 )  +  4 / ( x - 3 ) 

           c-à-d    f( x ) = x +  4 / ( x - 3 )

          c-à-d    f( x ) - x =  4 / ( x - 3 )

             Mais     lim 4 / ( x-  3 ) = 0

                           x → + ∞ 

           D'où   lim  (   f( x ) -  x ) = 0 

                     x → + ∞     

                 Conclusion:   La droite D: y = x  est une asymptote à la courbe de f en + ∞              

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                   EXERCICE  3. 

               Soit la fonction f : x → ( 3 x - x3  ) / ( 1 - 3  x2 )  de courbe ( C ) dans un repère orthonormal du plan.

               Montrer que la droite oblique D: y = ( 1 / 3 )x  est une asymptote à ( C ) en + ∞.   

                                             

 Réponse:

                  •   1 - 3 x² = 0 s'écrit  

                                       c-à-d      x² = 1 / 3

                                       c-à-d   x = - √( 1 / 3 )   ou    x  =  √( 1 / 3 )                                         

                 •  La fonction f est définie sur ] - ∞ , - 1 / √3 [ U ]  - 1 / √3  ,   1/ √3 [ U ]  1/ √3 , + ∞ [.

                      Ainsi + ∞  est une extrémité d'un des trois intervalles du domaine de définition de f.

                     On peut faire la recherche.

                  •  Soit x >  1/ √3

                       On a:      f( x ) =  ( 3 x - x3  ) / ( 1 - 3  x2 ) 

  - x3  + 3 x            |  - 3  x2 + 1     
- (   - x3   + ( 1 / 3 ) x)     |( 1 / 3 ) x
                ( 8 / 3 )  x |
|
|

                  c-à-d        f( x ) =  ( 1 / 3 ) x +  ( 8 / 3 )  x /  ( 1 - 3  x2 ) 

 

                 Ainsi :      f( x ) -  ( 1 / 3 ) x  =  ( 8 / 3 )  x /  ( 1 - 3  x2 ) 

                 c-à-d    en divisant par x le numérateur et le dénominateur

                        f( x ) -  ( 1 / 3 ) x  =  ( 8 / 3 ) (  1 /  ( 1 / x  - 3  x ) )  = ( 8 / 3 )  /  ( 1 / x  - 3  x ) 

                 Mais       lim ( 1 / x  - 3  x ) = 0  -  ∞ =  - ∞

                                x → + ∞     

                 Donc    lim  ( 8 / 3 )  /  ( 1 / x  - 3  x )  = 0

                               x → + ∞  

                 Ainsi            lim (  f( x ) -  ( 1 / 3 ) x  ) = 0

                                    x → + ∞  

              Conclusion:   La droite D: y = ( 1 / 3 ) x  est une asymptote à la courbe de f en + ∞