INFO 2 LISTE EX LIM-DERIV 1S

              INFO 2     LISTE D'EXERCICES           LIMITES    DERIVEES               1S1          19 mars 2010          

                      EXERCICE  4. 

               Soit la fonction f : x → 4 x - 1  -  1 / ( x + 1 )    de courbe ( C ) dans un repère orthonormal du plan.

              1. Montrer que la droite oblique D: y =  4 x - 1  est une asymptote à ( C ) en + ∞.   

              2. Montrer que la droite verticale D' : x = - 1  est une asymptote à ( C ) .

                                       

       Réponse:

           1. Montrons  que la droite oblique D: y =  4 x - 1  est une asymptote à ( C ) en + ∞.   

            •  La fonction f est définie sur ] - ∞ , -1 [ U ] - 1 , + ∞ [.

                  Ainsi + ∞  est une extrémité d'un des intervalles du domaine de définition de f.

                 On peut faire la recherche.

            • Soit x >  - 1.

               On a :     f( x ) = ( 4 x - 1 ) - 1 / ( x  + 1 )

               Ainsi:       f( x ) - ( 4x - 1 ) = - 1 / ( x + 1 )

               Mais :     lim - 1 / ( x + 1 )  = 0

                             x → + ∞

           Donc      lim (  f(x ) -  ( 4 x - 1 ) ) = 0

                             x → + ∞

                    Conclusion:   La droite D: y = 4x  - 1  est une asymptote à la courbe de f en + ∞     

         2. Montrons  que la droite verticale D' : x = - 1  est une asymptote à ( C ) .

                  •   -1   est une extrémité de deux intervalles du domaine de définition de f.

                   On peut faire la recherche.

                • • Sur  ] - 1 , + ∞ [ .

                     On a :   lim  1 / ( x + 1 )  = 1 / 0+   = + ∞ 

                                  x → - 1

                                      x > - 1

                   D'où :       lim  - 1 / ( x + 1 )  =  - ∞ 

                                  x → - 1

                                         x > - 1

                     Donc:            lim (  4 x - 1  -  1 / ( x + 1 )  ) =   - 5 -  ∞ =  -  ∞ 

                                           x →   - 1

                                               x > - 1

                          c-à-d              lim f( x )  =  -  ∞ 

                                               x →   - 1

                                                  x > - 1

              Conclusion:   La droite D' : x = - 1  est une asymptote verticale à droite à la courbe de f .    

                    • • Sur  ]-  ∞  ,  - 1 [ .

                On a :   lim  1 / ( x + 1 )  = 1 / 0 -  = - ∞ 

                             x → - 1

                                x < - 1

                   D'où :       lim  - 1 / ( x + 1 )  =  + ∞ 

                                  x → - 1

                                         x < - 1

                     Donc:            lim (  4 x - 1  -  1 / ( x + 1 )  ) =   - 5 + ∞ =  + ∞ 

                                           x →   - 1

                                               x < - 1

                          c-à-d              lim f( x )  =  + ∞ 

                                               x →   - 1

                                                  x < - 1

                    Conclusion:   La droite D' : x = - 1  est une asymptote verticale à gauche à la courbe de f .    

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                  EXERCICE  5. 

                 Soit la fonction f : x →  1 / ( x² + x + 1 )   de courbe ( C ) dans un repère orthonormal du plan.

                           

              1. Donner le sens de variation de f.

              2. Montrer que la droite L: x = - 0,5  est un axe de symétrie de ( C ).

              3. Montrer que la droite horizontale  D: y = 0  est une asymptote à ( C ) en + ∞.    

Réponse:

              1. Sens de variation de f.

                  Soit la fonction v: x →  x² + x + 1.

                 v est une fonction polynôme définie , dérivable et non nulle dans IR.

                   (  Le dicriminant est - 3 < 0 )

               Ainsi la fonction  1 / v  c'est-à-dire f est définie et dérivable dans IR.

               De plus on a:            f ' = ( 1 / v ) ' = - v ' / v²

                Ici on a :              v ' : x →  2 x +1

               Donc f ' : x →  - ( 2 x + 1 ) / ( x² + x +1 )²

               On peut affirmer que sur IR ,  f ' ( x ) est du signe de - ( 2 x + 1 )

               Tableau de signes:   

x - ∞                         -0,5                    + ∞ 
2 x + 1                 -              0           +
- ( 2 x + 1 )                +              0           -
f ' ( x )                +              0           -

             On en déduit le tableau de variation de f.             

x - ∞                                  -0,5                             + ∞ 
f ' ( x )               +                         0                  -
f ( x )                ↑                       4 /3                  ↓

           f ( - 1 / 2 ) = 1 / ( 0,25 - 0,5 + 1) = 1 / 0,75 = 1 / ( 3 / 4 ) = 4 / 3

                       Conclusion:  f est strictement décroissante sur l'intervalle [ - 1 / 2 ,   + ∞ [   

                                                  f est strictement croissante sur l'intervalle    ]  - ∞ , - 1 / 2 ] 

                ATTENTION.    Les intervalles sont fermé en  - 1 / 2.

            2. Montrons que la droite D: x = - 1 / 2 est un axe de symétrie de ( C ) , la courbe de f.

                  Changeons de repère par changement d'origine ( on dit  par translation ).

                  Prenons I ( -1 / 2 ; 0 ) comme nouvelle origine.

                   Posons ainsi :

                       x = - 1 / 2 + X

                      y = 0 + Y

                Dans le nouveau repère orthonormal ( I ,  vect (i , vect(   j ) ) la nouvelle équation de ( C )  est  :

                       0 + Y = 1 /(   ( - 1 / 2  + X )² + (  - 1 / 2  + X ) + 1 )

                      c-à-d     Y =  1  /  ( 0,25 + X² - X - 0,5 + X +  1 )

                        c-à- d   Y =  1  /  (   X²  + 0,75 )    

              La fonction   g: X →   1  /  (   X²  + 0,75 )  est paire .

              Donc sa courbe ( C ) admet le nouvel axe des ordonnées D : x = - 1 / 2 comme

             axe de symétrie.

                Conclusion: La courbe ( C ) de  f  admet bien la droite  D : x = - 1 / 2  comme  

                  axe de symétrie.           

             3. Montrons que la droite horizontale  D: y = 0  est une asymptote à ( C ) en + ∞.  

                On a:    lim f( x ) = 0

                             x → + ∞

                  En effet :

                                      lim ( x² + x + 1 ) = + ∞

                                       x → + ∞

                Donc:            lim 1 / ( x² + x + 1 ) = 0

                                       x → + ∞

                    Conclusion: L' axe des abscisses est bien une asymptote à ( C ) en + ∞

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