INFO 3 LISTE EX LIM-DERIVE 1S

                INFO 3    LISTE  D'EXERCICES           LIMITES    DERIVEES               1S1          19 mars 2010        

                                     EXERCICE  6. 

               Soit la fonction f : x →  x / ( x² + x + 1 )   de courbe ( C ) dans un repère orthonormal du plan.

                                                     

               Montrer que la droite horizontale  D: y = 0  est une asymptote à ( C ) en + ∞.   

Réponse:

     • Df = ] - ∞ , + ∞[.

          + ∞ est une extrémité de l'intervalle de définition.   

          On peut faire la recherche.  

       •  Soit x > 0.

            On a :       f( x ) = x / (x² + x + 1 )

           c-à-d       f( x ) =    x  / (  x  ( x + 1 + ( 1 / x ) ) )      en factorisant x au dénominateur .

           c-à-d      f( x ) = 1 / ( x + 1 + ( 1 / x ) )            en simplifiant par x .

          Passons à la limite.

                        lim (   x + 1 +( 1 / x )   ) =  + ∞ + 1 + 0 =  + ∞    car     lim ( 1 / x ) = 0

                      x → + ∞                                                                        x → + ∞ 

         Pour l'inverse on a donc:

                        lim 1/ ( x + 1 +( 1 / x ) ) = 0

                        x → + ∞      

            c-à-d        lim f( x) = 0        

                           x → + ∞                                            

         Ce qui peut s'écrire ( mais ce n'est pas obligatoire )   lim ( f( x ) - (  0 x + 0 ) ) = 0    

                                                                                                x → + ∞   

      Conclusion:  La droite D: y = 0  est une asymptote horizontale à la courbe de f en + ∞      

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                                      EXERCICE  7. 

               Soit la fonction f : x →  x² / ( x² + x + 1 )   de courbe ( C ) dans un repère orthonormal du plan.

                                                  

               Montrer que la droite horizontale  D: y = 1  est une asymptote à ( C ) en + ∞.     

Réponse:

                 • Df = ] - ∞ , + ∞[.

                     + ∞ est une extrémité de l'intervalle de définition.   

                     On peut faire la recherche.  

                 •  Soit x > 0.

                        On a :       f( x ) = x² / ( x² + x + 1 )

           c-à-d       f( x ) =    x²  / (  x²  ( 1 +( 1 / x) + ( 1 / x² ) ) )      en factorisant x² au dénominateur .

           c-à-d      f( x ) = 1 / ( 1 + ( 1 / x ) + ( 1 / x² ) )            en simplifiant par x² .

          Passons à la limite.

                      lim (   1 + ( 1 / x ) +( 1 / x² )   ) =  1 + 0 + 0 =  1    car     lim ( 1 / x ) = 0  et  lim ( 1 / x² ) = 0 

                      x → + ∞                                                                        x → + ∞                 x → + ∞ 

         Pour l'inverse on a donc:

                        lim 1/ ( 1 + ( 1 / x ) + (  1 / x²  ) ) = 1 / 1 = 1

                        x → + ∞      

            c-à-d        lim f( x) = 1        

                           x → + ∞                                            

 

                Ce qui peut s'écrire ( mais ce n'est pas obligatoire )   lim ( f( x ) - (  0 x + 1 ) ) = 0    

                                                                                                      x → + ∞   

                   Conclusion:  La droite  D : y = 1  est une asymptote horizontale à la courbe de f en + ∞      

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                                       EXERCICE   8.    

               Soit la fonction f : x →  4 x - 1 +  2 / x    de courbe ( C ) dans un repère orthonormal du plan.

                                             

               Montrer que la droite oblique D: y = 4 x - 1  est une asymptote à ( C ) en + ∞.    

 Réponse:

                  • Df = ] - ∞ , 0[ U ] 0 , + ∞ [.

                     + ∞ est une extrémité d'un des intervalles de définition.                   

                     On peut faire la recherche.  

                  • Soit x > 0.

                       On a:   f( x ) = 4 x - 1 + 2 / x   

                        c-à-d       f( x ) - ( 4 x - 1 ) =    2 / x     

                        Mais          lim ( 2 / x ) = 0

                                         x → + ∞    

                       Ainsi :          lim (   f( x ) - ( 4 x - 1 ) )  =  0                               

                                           x → + ∞   

  Conclusion:  La droite  D : y = 4 x - 1  est une asymptote oblique  à la courbe de f en + ∞      

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