INFO2 TEST DER-LIM 1S 27/03/10

                       INFO 2 TEST    DERIVATION-LIMITES           1S1              27/03/10      

                      Soit  la fonction rationnelle f : x → ( 2 x3 - 3 x2 + 11 x - 3 ) / ( 3 ( x2 + 1 ) ) définie sur IR.

                 On note ( C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormal  ( O ; vect ( i ) , vect ( j ) ).

                    Partie A.  Etude de f.             

                     4. Etablir que 2 X2 - 5 X + 11 > 0 pour tout réel positif X .

                       On a:          Δ = b² - 4 ac

                         c-àd      Δ = 25 - 88 = - 63

                        Donc     Δ < 0

                      2 X2 - 5 X + 11  ne annule jamais et est toujours du signe de a = 2.

                 Conclusion :   2 X2 - 5 X + 11  > 0    pour tout réel X. 

                    En déduire que f '( x ) > 0 pour tout réel positif x.

                      Comme  ( 3 ( x2 + 1 ) )² > 0   pour tout réel x  on a  f '( x ) qui est

                     du signe de  2 x4 - 5 x2 + 11   pour tout x dans IR.

                    Mais     2 x4 - 5 x2 + 11    =   2 ( x2 )2- 5 x2 + 11  

                   Posons   X = x2   alors     2 x4 - 5 x2 + 11    =  2 X2 - 5 X + 11 

                     D'après ce que l'on a vu   2 X2 - 5 X + 11  > 0   pour tout X dans IR+ .

                    Donc      2 x4 - 5 x2 + 11  > 0 pour tout réel x.

Ainsi  :

        Conclusion : f '( x ) > 0  pour tout réel x  donc pour tout réel positif x.

                5. Dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle [ 0 , +∞ [ .    

x 0                                                             +∞
f ' ( x )                                    +
f( x )                                      ↑

                6. En déduire le tableau de variationde f sur IR

                     Comme la courbe ( C ) de f admet le point Ω( 0 ; -  1 ) situé sur l'axe des

                     ordonnées comme centre de symétrie on peut compléter le tableau de variation. 

x     -∞                                                         +∞
f ' ( x )                                      +
f( x )                                      ↑

                7. Résoudre l'équation f( x ) = ( 2 / 3 ) x - 1  dans IR .

                      Soit x dans IR.

                         f( x ) = ( 2 / 3 ) x - 1    s'écrit :

                         ( 2 x3 - 3 x2 + 11 x - 3 ) / ( 3 ( x2 + 1 ) )  = ( 2 / 3 ) x - 1 

                        c-à-d  en multipliant par 3 ( x2 + 1 ) chaque membre :

                         2 x3 - 3 x2 + 11 x - 3 = 3 ( x2 + 1 )  ( ( 2 / 3 ) x - 1  )

                      c-à-d    2 x3 - 3 x2 + 11 x - 3 = 3 [ ( 2 / 3 ) x3 -  x2   + ( 2 / 3 ) x - 1 ]

                      c-à-d    2 x3 - 3 x2 + 11 x - 3 =   2  x3  - 3  x2    + 2 x  - 3

                     c-à-d    11 x = 2 x

                      c-à-d    9 x = 0    c-à-d    x = 0

   Conclusion :    SIR = { 0 }

                8. Voir ci- dessous la courbe ( C ) de la fonction f  et la droite D : y = ( 2 / 3 ) x - 1

                    pour la fenêtre proposée.

                                  

                   Conjecturer le comportement de f( x ) quand x prend des valeurs très grandes.

                   Conclusion :   On peut conjecturer que f( x ) tend vers + ∞  quand x tend vers  + ∞.   

                   De plus la droite d'équation  y = ( 2 / 3 ) x - 1  est une asymptote à ( C ) en  + ∞  .      

     Parties B . Comportement asymptotique de f.

                    Soit la fonction ε: x →  f( x ) - ( ( 2 / 3 ) x - 1 )    définie dans IR.

                  1. Montrer que pour tout réel x ,  ε ( x ) = ( 3 x ) / ( x² + 1 ).

                    Soit x dans IR.

 On a :          f( x ) - ( ( 2 / 3 ) x - 1 ) =  ( 2 x3 - 3 x2 + 11 x - 3 ) / ( 3 ( x2 + 1 ) )  - (  ( 2 / 3 ) x - 1 ) 

 c-à-d       f( x ) - ( ( 2 / 3 ) x - 1 ) =  [ ( 2 x3 - 3 x2 + 11 x - 3 ) - 3 ( x2 + 1 ) (  ( 2 / 3 ) x - 1 ) ] / ( 3 ( x2 + 1 ) )

 c-à-d      f( x ) - ( ( 2 / 3 ) x - 1 ) = [ ( 2 x3 - 3 x2 + 11 x - 3 )  -   2  x3  + 3  x2    - 2 x  +3 ) ] / ( 3 ( x2 + 1 ) )

                  en réutilisant des calculs déjà faits.

 c-à-d      f( x ) - ( ( 2 / 3 ) x - 1 ) = 9 x /( 3 ( x2 + 1 ) ) = 3 x / ( x2 + 1 )

                      Conclusion :    pour tout réel x ,     

                                                 ε ( x ) = ( 3 x ) / ( x² + 1 ).       

                  2. En déduire le signe de   ε ( x ) sur IR . 

                     Il est clair que  ε ( x ) est du signe de x .

          Conclusion :      ε ( x ) > 0 si x > 0   

                                   ε ( x ) < 0 si x < 0 

                                   ε ( x ) = 0 si x = 0

                  3.  En déduire la position relative de la courbe ( C )par rapport à la droite D.

                        On déduit de la question précédente:

                          Conclusion : Comme    f( x )- ( ( 2 / 3 ) x - 1 ) > 0 si x > 0   

                                                         et  f( x )- ( ( 2 / 3 ) x - 1 ) < 0 si x < 0 

                                                         et  f( x )- ( ( 2 / 3 ) x - 1 ) = 0 ssi x = 0

                             on peut dire:    Sur ] -  ∞, 0 [   ( C ) en dessous de D

                                                     Sur ] 0 , +  ∞ [   ( C ) au  dessus de D

                      4. Montrer que , pour tout réel x strictement positif on a :  0 ≤   ε ( x )  ≤ 3 / x .

                       Soit x > 0.

                       • On a :       0 ≤ ( 3 x ) / ( x² + 1 )     Quotient de deux réels strictement positifs

                       • On a :      ( 3 x ) / ( x² + 1 ) ≤ ( 3 x ) / x²   

                           En effet:   0 <  x²   ≤  x²  + 1  

                          Donc  pour les inverses:   1 / ( x² + 1 ) ≤ 1 / x²   

                          Comme 3 x > 0  il vient en multipliant :   ( 3 x ) / ( x² + 1 ) ≤ ( 3 x ) / x²   

                         Donc    ( 3 x ) / ( x² + 1 ) ≤  3  / x

                  Conclusion :   On a bien     0 ≤   ε ( x )  ≤ 3  / x       pour tout x > 0.    

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------