INFO4 LISTE EX LIM-DERIV 1S

               INFO 4   LISTE D'EXERCICES           LIMITES    DERIVEES               1S1          19 mars 2010 

                                         EXERCICE   9.                 

               Soit la fonction f : x →  ( x² - 7 x + 10 ) / x    de courbe ( C ) dans un repère orthonormal du plan.

                                                     

             1.  Montrer que la droite oblique   D: y = x - 7  est une asymptote à ( C ) en + ∞.  

             2.  Préciser les positions relatives de ( C ) et D.

             3.   Montrer que la droite verticale   D: x  = 0   est une asymptote à ( C ).  

             4.   Montrer que le point A ( 0 ; - 7 ) est un centre de symétrie de ( C ).

                       Une méthode possible:

                      • On prendra le point A (  0  ; - 7  ) comme nouvelle origine du

                         repère orthonormal.

                         Pour cela on posera :           x =  0  + X

                                                                      y = - 7   + Y

                      • On reportera alors x et y dans  y = f( x ) avec x non nul.

                        On obtiendra pour ( C ) une nouvelle équation Y =g( x ).

                      •  Enfin on montrera que la fonction g , également de courbe ( C ) , est impaire . )

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       Réponse

                         1.  Montrer que la droite oblique   D: y = x - 7  est une asymptote à ( C ) en + ∞.  

                                  • Df = ] - ∞ , 0[ U ] 0 , + ∞ [.

                                     + ∞ est une extrémité d'un des intervalles de définition.   

                                      On peut faire la recherche.  

                                   • Soit x > 0.

                           On a :               f( x ) = ( x² - 7 x + 10 ) / x

                           c-à-d                  f( x ) = x - 7 + 10 / x

                          c-à-d                  f( x ) - ( x - 7 ) = 10 /x

                          Mais              lim ( 10  / x  ) = 0

                                              x → + ∞  

                      Ainsi :          lim (   f( x ) - ( x - 7 ) )  =  0   

                                         x → + ∞          

                Conclusion:   La droite D: y = x - 7  est une asymptote à la courbe de f en + ∞        

    2.  Préciser les positions relatives de ( C ) et D.

                      Comme     f( x ) - ( x - 7 ) = 10 /x   on  a   f( x ) - ( x - 7 )   qui est du signe

                     de x dans  ] - ∞ , 0[ U ] 0 , + ∞ [.

                      Donc        f( x ) - ( x - 7 ) > 0 pour x > 0.

                                       f( x ) - ( x - 7 ) < 0 pour x < 0

                Conclusion:      Sur   ] - ∞ , 0[   la courbe ( C ) de f est en dessous de D

                                   Sur   ] 0 , + ∞ [   la courbe ( C ) de f est au dessus de D.

                  3.   Montrer que la droite verticale   D: x  = 0   est une asymptote à ( C ).  

                     •   0  est une extrémité des intervalles de définition.

                         On peut faire la recherche.

                      •   On a:

                              lim    f( x ) = lim  ( x - 7 + 10 / x ) =  + ∞        car   lim  ( 10 / x ) =  + ∞ 

                               x → 0+           x → 0+                                                               x → 0+

                                     et

                                lim   f( x )  = lim ( x - 7 + 10 / x ) = - ∞      car    lim  ( 10 / x ) =  - ∞ 

                               x → 0-                x → 0-                                                           x → 0-

                       Conclusion:  La droite  D : x = 0 , c-à-d l'axe des ordonnées, est une asymptote verticale à  ( C )   

                        4.   Montrer que le point A ( 0 ; - 7 ) est un centre de symétrie de ( C ).

                            Prenons le point A comme nouvelle origine.

                            Posons   x = 0 +  X

                                          y = - 7 + Y

                          Reportons dan l'ancienne équation  y = f(  x ) de ( C ) avec x non nul.

                          On obtient :

                                 - 7 + Y = X - 7 + 10 / X      avec X non nul

                                  c-à-d      Y = X + 10 / X        avec X non nul

                                  Soit la fonction g : X  → X + 10 / X  .

                                  g est une fonction impaire.

                                 En effet.

                                   •   Dg   =   ] - ∞ , 0[ U ] 0 , + ∞ [   est centré en 0.

                                   •    Soit X quelconque non nul.

                                     On a :  

                                         g(  - X  ) = ( - X  ) +  10 /(  - X  ) = - ( X + 10 / X ) =- g( X )

                                     c-à-d  g( - X ) = - g( X ) pour tout X dans Dg   .

                       Conclusion:   La courbe ( C ) de g , mais aussi de f , admet la nouvelle origine A            

                            comme centre de symétrie.                    

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