SUJET COMMUN 1S 2 avril 2010 2 heures
EXERCICE 1 QCM
Chaque question comporte une seule réponse exacte.
Vous devez cocher la case correspondante.
• Une bonne réponse rapporte 0,5 point.
• Une réponse fausse enlève 0,25 point.
• Une absence de réponse rapporte 0 point.
• La note attribuée pour cet exercice ne peut être en dessous de 0
Aucune justification n'est demandée.
Les questions sont indépendantes.
1. Soit la fonction f : x → 1 / ( 2 x ) définie sur IR*
Elle admet comme fonction dérivée :
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2. Soit f une fonction définie sur IR*+ telle que f( 1 ) = 0 et de fonction dérivée
f ' : x → 1 / x .
la fonction g ' : x → 1 / ( 2 x + 1 ).
L'équation réduite de la tangente à la courbe ( C ) de la fonction f au point d'abscisse
1 est : y = - x + 1.
f( 1 + h ) ≈ h
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3. Soit la fonction f : x → 1 / ( 3 - x ) définie sur IR - { 3 }.
fonction f ' : x → 1 / ( 3 - x )²
La tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0 admet
un coefficient égal à - 1 / 9 .
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4. Soit la fonction f : x → x2 + x + 2
La forme canonique de f est :
f( x ) = ( x - ( - 1 / 2 ) )2 - 1 / 4
f ( x ) = 0 ssi x = - 1 ou x = 2
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5. La droite d'équation y = 1,5 x + 1, 5 est la tangente au point d'abscisse 1
à la courbe de la fonction:
f : x → ( x - 1 ) / ( 2 x - 0, 5 )
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EXERCICE 2
1. Soit la fonction f : x → x +( 3 / x ) - ( 1 / x² ) définie sur IR• .
Déterminer la fonction dérivée f ' de f.
2. Soit la fonction g: x → x3 - 3x + 2 définie sur IR.
a. Montrer que l'équation g( x ) = 0 admet une racine évidente.
b. Déterminer trois réels a , b, c tels que :
g( x ) = ( x - 1 )( a x2 + b x + c ) pour tout réel x.
c. Donner le signe de g( x ) suivant x.
d. Montrer que f '( x ) est du signe de g( x ) / x pour tout x dans IR• .
e. Donner le tableau de variation de la fonction f.
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EXERCICE 3
Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) .
Soit les points A( - 4 : 0) et B( 2; 6 ).
M( x , y ) désigne un point quelconque du plan.
1. Montrer que : MA² + MB² = 2 x² + 2 y² + 4 x- 12 y + 56.
2. Quel est l'ensemble des pints M du plan tels que MA² + MB² = 40 .
Représenter ( E ).
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EXERCICE 4
Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) .
Soit les points A( - 1 ; 0 ) et B ( 4 ; 0 ).
C désigne unpoint quelconque du plan non situé sur la droite ( AB ) .
M désigne un point quelconque du plan.
On note H le point de la droite ( AB ) qui vérifie vect(AH). vect(AB) = - 10 .
1. a. Les vecteurs colinéaires vect( AH ) et vec( AB ) sont-ils de même sens ? de sens contraires?
b. Que vaut la distance AB ?
Que vaut AH ?
Les vecteurs colinéaires vect( AH ) et vec( AB ) sont-ils de même sens ? de sens contraires?
c. Faire une figure en plaçant le point H.
2. Quel est l'ensemble ( Γ ) des points M du plan tels que vect( HM) . vect(AB ) = 0 ?
Tracer ( Γ ).
3. Comparer les réels vect( AH ) . vect( AB) + vect( HM ) . vect ( AB) et vect(AM) . vect( AB ).
4. Etablir que vect( AM ) . vect( AB) = - 10 équivaut à vect( HM ) . vet( AB) = 0.
Quel est l' ensemble des point M du plan tels que vect( AM ) . vect( AB) = - 10 ?
5. On note I le milieu du segment [BC] et G l'isobarycentre des points A , B , C.
a. Réduire les vecteurs vect( MA) + vect( MB) + vect(MC) et vect(MB)+vect(MC).
b. Trouver l'ensemble ( W ) des points M du plan tels que :
( vec( MB + vect( MC) ) . vect( MA) = 0
c. Trouver l'ensemble ( L ) des points M du plan tels que :
3 × || vect( MB) + vect( MC) || = 2 × || vect( MA) + vect( MB)+ vect(MC) ||.
d. Représenter l'ensemble ( L ).
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