EXERCICES n° 47 POUR LE VENDREDI 16/04/10 1S1
• EXERCICE 47
Soit la fonction f : x → ( x + 3 )² définie sur IR .
1. Déterminer le sens de variation de f.
2. Soit la suite ( u ) définie sur IN par :
un = f( n ) pour tout n dans IN.
Montrer que la suite ( u ) est croissante sur IN.
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Réponse/
On a : f : x → ( x + 3 )² .
Plusieurs méthodes possibles:
Méthode 1.
f : x → x² + 6 x + 9 .
a = 1 b = 6 c = 9
Donc a > 0 et - b /( 2a ) = - 6 / 2 = - 3
D'après le cours , sur l'intervalle [ - b /( 2a ) , + ∞ [
la fonction f est croissante .
Sur l'intervalle ] - ∞ , - b / ( 2 a ) ] la fonction f est décroissante .
Conclusion: f est croissante sur l'intervalle [ - 3 , + ∞ [ .
f est décroissante sur l'intervalle ]- ∞ , - 3 ] .
Soit la fonction u : x → x + 3 .
u est définie et dérivable dans IR.
u ' : x → 1
Or : f = u ²
f est donc définie et dérivable dans IR.
On a : f ' = 2 u u '
f ' : x → 2 ( x + 3 ) 1
f ' ( x ) est du signe x + 3 pour tout x dans IR.
Donc:
f ' ≥ 0 sur [ - 3 , + ∞ [
f ' ≤ 0 sur ] - ∞, - 3 ]
Conclusion: f est croissante sur l'intervalle [ - 3 , + ∞ [ .
f est décroissante sur l'intervalle ]- ∞ , - 3 ] .
2. Donnons le sens de variation de la suite ( u ).
IN est inclus dans l'intervalle [ - 3 , + ∞ [ sur lequel f est croissante.
La restriction de f à IN est donc croissante sur IN.
Conclusion: La suite ( u ) est croissante sur IN.