INFO 1 PROJET D' INTERROGATION 10 AVRIL 2010
NOM : ................ PRENOM: .....................DATE: ........... Classe: 1S1
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• Soit g( x ) = 2 √x - 1 avec x ≥ 0. Donner le signe de g( x ) suivant x dans IR+ .
Soit x dans IR+ .
On a :
2 √x - 1 = 0 s'écrit √x = 1 / 2 c-à-d x = 1 / 4
Sachant que la fonction x → x² est croissante sur l'intervalle [ 0 , + ∞[
. 2 √(x) - 1 > 0 s'écrit √x > 1 / 2 puis x > 1 / 4
Ainsi on peut remplir le tableau de signes :
Conclusion:
| x | 0 1 / 4 + ∞ |
| g(x ) | - 0 + |
• • Trouver f '( x ) pour tout x dans IR+ *.
. La fonction f : x → x - √x est définie sur IR+ et dérivable sur IR+* comme √ .
On a : f ' : x → 1 - 1 / ( 2√x )
c-à-d
Conclusion: f ' : x → ( 2 √x - 1 ) / ( 2√x )
• • Donner le tableau de variation de f.
Comme ( 2√x ) > 0 pour tout x dans IR+*
f ' ( x ) est du signe de 2 √(x) - 1 pour tout x dans IR+* .
On a : f ( 1 / 4 ) = 1 / 4 - √ (1 / 4 ) = 1 / 4 - 1 / 2 = - 1 / 4
Conclusion:
| x | 0 1/ 4 + ∞ |
| f '( x ) | || - 0 + |
| f( x ) | ↓ - 1 / 4 ↑ |
• • Trouver lim ( √x - 1 ) √x .
x → + ∞
. On a : lim √ x = + ∞
x → + ∞
Donc lim [( √x - 1 ) ] = + ∞
x → + ∞
Ainsi pour le produit on a :
Conclusion: lim ( √x - 1 ) √x = + ∞
x → + ∞
• • Donner lim f( x ) .
x → + ∞
. Soit x > 0 .
On a : f ( x ) = x - √x = ( √x - 1 ) √x
c-à-d f ( x ) = ( √x - 1 ) √x
D'après la limite précédente on a:
Conclusion: lim f (x) = + ∞ x → + ∞ ----------------------------------------------------------------------------------