INFO 3 PROJET D' INTERROGATION 10 AVRIL 2010
NOM : ................ PRENOM: .....................DATE: ........... Classe: 1S1
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• Soit la fonction h: x → ( - x² + x + 1 ) / ( x + 1 ) définie sur IR- { - 1 }.
• • Montrer que h ' : x → - ( x² + 2 x ) / ( x + 1 )² sur IR- { - 1 }.
Comme fonction rationnelle définie dans IR - { - 1 } , h est dérivable dans IR - { - 1 } . Soit x dans IR - { - 1 } . On a vu lors de la recherche : de l'asymptote oblique que : h( x ) - ( - x + 2 ) = - 1 / ( x + 1 ) c-à-d h( x ) = - x + 2 - 1 / ( x + 1 ) En considérant v : x → x + 1 définie , dérivable et non nulle sur IR - { - 1 } on a v ' : x → 1 et ( 1 / v ) ' = - v ' / v² . Ainsi : h '( x ) = - 1 - ( - 1 / ( x + 1 )² ) c-à-d h '( x ) = - 1 + 1 / (x + 1 )² c-à-d h '( x ) = [ - ( x + 1 )² + 1 ] / ( x + 1 )² c-à-d h ' ( x ) = ( 1 + x + 1) ( 1 - ( x +1 ) ) / ( x + 1 )² c-à-d h ' ( x ) = - x ( x + 2 ) / ( x + 1 )² Conclusion : On a bien : h ' : x → - ( x² + 2 x ) / ( x + 1 )² sur IR- { - 1 }. • • Donner le signe de h ' ( x ) suivant x dans IR- { - 1 }. ( x + 1 )² > 0 pour tout x dans IR- { - 1 }. . Donc : h ' ( x ) est du signe de - x ( x + 2 ) pour tout x dans IR- { - }. Ainsi Conclusion : Si x < - 2 ou x > 0 alors h ' ( x ) <0 Si - 2 < x < -1 ou - 1 < x < 0 alors h '( x ) > 0 h ' ( 0 ) = 0 et h ' ( - 2 )= 0
• • En déduire le sens de variation de h sur IR- { - 1 }.
• • Montrer que le point H( - 1 ; 3 ) est un centre de symétrie de la courbe ( C ) . Prenons H comme nouvelle origine. Posons pour cela : x = - 1 + X y = 3 + Y Reportons dans l'équation de ( C ) y = - x + 2 - 1 / ( x + 1 ) avec x dans IR - { - 1 }. On obtient : 3 + Y = - ( - 1 + X ) + 2 - 1 / ( - 1 + X + 1 ) avec X dans IR* c-à-d 3 + Y = 1 - X + 2 - 1 / X avec X dans IR* c-à-d Y = - X - 1 / X avec X dans IR* . La fonction g : X → - X - 1 / X est impaire. En effet: • Dg = IR* centré en 0. • Soit X dans IR* quelconque. g( - X ) = - g (X ) car: g( - X ) = - ( - X ) - 1 / ( - X ) = - [ - X - 1 / X ] = - g (X ) Conclusion : Le point H ( - 1 ; 3 ) , nouvelle origine, est bien un centre de symétrie de la courbe de g c-à-d de la courbe ( C ).
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x
- ∞ - 2 - 1 0 + ∞
h ' (x)
- 0 + || + 0 -
h ( x )
↓ 5 ↑ || ↑ 1 ↓