INFO EX n° 46 POUR LE VENDREDI 16/04/10 1S1
• EXERCICE 46
Soit la suite ( v ) définie sur IN par :
vn = √(2 n + 3 ) pour tout n dans IN.
1. Déterminer la fonction f telle que vn = f( n ) pour tout n dans IN.
2. Etudier le sens de variation de f sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [ , en déduire
le sens de variation de de la suite ( v ).
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Réponse:
1. Détermination de la fonction f.
Soit n dans IN quelconque.
Pour x = n on a √( 2 x + 3 ) = √( 2 n + 3 ) = vn
Conclusion : On a vn = f( n ) avec f : x → √( 2 x + 3 ) .
2. Sens de variationde f.
La fonction x →√x est dérivable dans l'intervalle ] 0 , + ∞ [ .
Sa fonction dérivée est x → 1 / ( 2 √x ).
Considérons l'ensemble:
{ x dans IR / 2 x + 3 > 0 } = { x dans IR / x > - 3 / 2 } = ] - 3 / 2 , + ∞ [
Ainsi: La fonction f est dérivable sur l'intervalle ouvert ] - 3 / 2 , + ∞ [.
Soit x > - 3 / 2.
On a:
f ' ( x ) = 2 [ 1 / ( 2 √( 2 x + 3 ) ] = 1 / √( 2 x + 3 )
Or 1 / √( 2 x + 3 )> 0 pour tout x dans ] - 3 / 2 , + ∞ [.
Ainsi: f ' > 0 sur ] - 3 / 2 , + ∞ [.
Conclusion : La fonction f est donc croissante sur [ - 3 / 2 , + ∞ [.
IN est inclus dans l'intervalle [ - 3 / 2 , + ∞ [.
La restriction de la fonction f à IN est donc aussi croissante.
C-à-d la suite ( v ) est croissante sur IN.
Conclusion : La suite ( v )est croissante sur IN.
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