Mercredi 14 Avril 2010 1S1
Nouvelle leçon :
SUITES NUMERIQUES.
• FIN DE L'EX. COMMENCE LE SAMEDI 10 AVRIL 2010.
On a vu l'étude des variations de la fonction rationnelle suivante:
f : x → (x² + x + 1) / ( x + 1)
c-à-d f : x → x + 1 / ( x + 1)
f est une fonction définie et dérivable sur IR - { - 1 } comme
fonction rationnelle définie dans IR - { - 1 }.
Soit x ≠ - 1 .
On a vu en considérant
( 1 / v )' = - v ' / v² avec v : x → x + 1 et v ' : x → 1
que :
f '( x ) = 1 - 1 / ( x + 1 )² = ( ( x + 1 )² - 1 ) / ( x + 1) ²
c-à-d
f ' ( x ) = ( x² + 2 x + 1 - 1 ) / ( x + 1) ²
c-à-d
f ' ( x ) = x ( x + 2 ) / ( x + 1 )²
f ' ( x ) pour tout x dans IR - { - 1 } est du signe de x ( x + 2 ).
D'où
le tableau de variation de f :
| x | - ∞ - 2 - 1 0 + ∞ |
| f '( x ) | + 0 - || - 0 + |
| f ( x ) | ↑ - 3 ↓ || ↓ 1 ↑ |
•◊ EXEMPLE D'INTRODUCTION.
IR- { 1 } = ] - ∞ , - 1 [ U ] - 1 , + ∞ [
IN est inclus dans l'intervalle ] - 1 , + ∞ [
La restriction de la fonction f précédente à IN s'appelle la suite
numérique ( f ) définie dans IN de terme général :
f( n ) = (n - 1) /( n + 1) ou f( n ) = n + ( 1 / ( n + 1 ) )
avec n dans IN .
f( n ) est aussi noté fn .
Cette suite est notée ( f ) ou ( fn ) ou encore ( fn )IN .
Ainsi ses premiers termes sont :
f ( 0 ) = 0 + ( 1 / ( 0 + 1 ) ) = 1 c-à-d f0 = 1
f ( 1 ) = 1 + ( 1 / 1 + 1 ) = 1 ,5 c-à-d f1 = 1 , 5
f( 2 ) = 2 + (1/ ( 2 + 1 ) ) = 2 + 1 / 3 = 7 / 3 c-à-d f2 = 7 / 3
........................................ etc
f( n ) = n + ( 1 / ( n + 1 ) )
f( n + 1 ) = ( n + 1) + ( 1 / ( n+ 1 + 1 ) ) = n + 1 + ( 1 / ( n + 2 ) On remplace n par n + 1
.................................................. etc
• ◊ Définition d'une suite numérique.
Tout fonction numérique u définie dans IN est appelée
suite numérique définie dans IN.
Elle est notée ( u ) ou ( u n ) ou ( u n ) IN .
On écrit: u : IN -----> IR
n ---------> u( n )
Son terme général est u( n ) c-à-d u n .
( Il arrive que dans certains ouvrages la notation normale ( u )
soit remplacée par u simplement .)
• ◊ Sens de variation d'une suite numérique
Soit ( u ) une suite numérique définie dans IN .
Alors:
La suite ( u ) est croissante sur IN ssi u n + 1 - u n ≥ 0 pour tout n dans IN.
La suite ( u ) est décroissante sur IN ssi u n + 1 - u n ≤ 0 pour tout n dans IN.
• ◊ EXEMPLE
Soit la suite de terme général u n = ( n - 1 ) / ( n + 1 ) pour tout n dans IN.
Donner le sens de variation de la suite ( u ).
Réponse:
Première méthode.
On peut penser à la fonction rationnelle u : x → ( x - 1 ) / ( x + 1 )
définie et dérivable dans IR - { - 1 } dont la suite ( u ) est la restriction à IN.
On étudie le sens de variation de la fonction numérique u pour avoir celui
de la suite ( u ).
Soit x dans IR - { - 1 }.
On a: u( x ) = ( x + 1 - 2 ) / (x + 1 )
c-à-d u( x ) = ( x + 1 ) / ( x + 1 ) - 2 / ( x + 1 )
c-à-d u( x ) = 1 - 2 ( 1 / ( x + 1 ) )
On a déjà vu que la fonction dérivée de x → 1 / ( x + 1 ) est
x → - 1 / ( x + 1 )² sur IR - { - 1 }.
On donc : u '( x ) = - 2 ( - 1 / ( x + 1 )² ) = 2 / ( x + 1 )²
Ainsi : u ' > 0 sur IR - { - 1 } .
u est croissante sur les intervalles de IR - { - 1 } .
Sa restriction à IN est aussi croissante.
Conclusion : La suite ( u ) est croissante sur IN.
Seconde méthode.
On considère le signe de u n + 1 - u n suivant n dans IN.
u n = 1 - 2 / ( n + 1 )
u n + 1 = 1 - 2 / ( n + 1 + 1 ) = 1 - 2 / ( n + 2 )
-----------------------------------------------------------------------------------------
Par différence: u n + 1 - u n = 1 - 2 / ( n + 2 ) - ( 1 - 2 / ( n + 1 ) )
c-à-d u n + 1 - u n = 1 - 2 ( 1 / ( n + 2 ) ) - 1 + 2 ( 1 / ( n + 1 )
c-à-d u n + 1 - u n = 2 [ - 1 / ( n + 2 ) + 1 / ( n + 1 ) ]
c-à-d u n + 1 - u n = 2 [ - ( n + 1 ) + ( n + 2 ) ] / [ ( n + 2 )( n + 1 )]
c-à-d u n + 1 - u n = 2 [ - n - 1 + n + 2 ] / [ ( n + 2 ) ( n + 1 )]
c-à-d u n + 1 - u n = 2 / [ ( n + 2 ) ( n + 1 )]
On a: 2 / [ ( n + 2 ) ( n + 1 )] > 0 pour tout n dans IN
Ainsi : u n + 1 - u n > 0 pour tout n dans IN
Conclusion : On a la suite ( u ) qui est bien croissante sur IN.
Même conclusion.
• ◊ SUITE RECURRENTE
Soit la suite ( u ) définie sur IN par :
u 0 = a avec a un réel fixé
u n + 1 = g( u n ) pour tout n dans IN .
où g est une fonction numérique définie sur un intervalle.
Alors on dit que la suite ( u ) est récurrente sur IN.
• ◊ EXEMPLE
( Proposé par Pavy ) )
Soit la suite récurrente ( u ) définie sur IN par:
u 0 = 7
u n +1 = u n + 1 pour tout n dans IN
1. Donner les termes u 1 , u 2 , u 3 .
2. Donner le sens de variation de la suite ( u ).
Réponse:
1. Donner les termes u 1 , u 2 , u 3 .
Ici on a : u n +1 = g( u n ) pour tout n dans IN
avec la fonction affine g : x→ x + 1
On a : u 0 = 7
u 1 = u 0 + 1 = 7 + 1 = 8
u 2 = u 1 + 1 = 8 + 1 = 9
u 3 = u 2 + 1 = 9 + 1 = 10
( On remarque qu'il suffit d'ajouter 1 à un terme pour avoir le terme suivant.
On dit que l'on a une suite arithmétique de raison r = 1 et de premier terme
u 0 = 7 )
2. Donner le sens de variation de la suite ( u ).
On a :
u n +1 = u n + 1 pour tout n dans IN
c-à-d
u n +1 - u n = 1 pour tout n dans IN
Or 1 ≥ 0
Ainsi u n +1 - u n ≥ 0 pour tout n dans IN
Conclusion: La suite récurrente ( u ) est croissante sur IN.
• ◊ EXEMPLE De RAISONNEMENT PAR RECURRENCE
Soit la suite récurrente ( u ) définie sur IN par:
u 0 = 2
u n +1 = √ ( u n + 2 ) pour tout n dans IN A-t-on u n ≥ 2 pour tout n dans IN ? Réponse: Exposé de la méthode: Premier point: Vérifier que l'inégalité est vraie pour n = 0 ( AMORCE ) Second point: Considérer n un entier naturel quelconque sans lui donner de valeur. Montrer que u n ≥ 2 implique u n + 1 ≥ 2 . ( Caractère héréditaire ) ( En s'appuyant sur u n ≥ 2 on montre que u n + 1 ≥ 2 . ) ( Comme pour monter un escalier on s'appuie sur une marche pour se hisser sur la marche suivante ) ----------------------------------------- Arrêt de la séance ------------------------- Poursuivre pour vendredi la démarche. Faire les ex n° 46 , n° 47 , n° 48 pour vendredi 16 avril 2010. ( sur le sens de variation )