AIDE DV n° 8 1S 28 mai 2M10

                            AIDE    DV n ° 8              1S1        28 MAI    2010

                     EXERCICE 1

                Soit la suite numérique récurrente ( u ) définie par:

                         u0  =  2

                         un + 1   = 1 + ( 2 / 5) un     pour tout n dans IN .

             

               1.a. Calculer   u1  ,   u2 .

                      En déduire:    u1  - u0   et    u2  - u1    puis    u1  / u0    et   u2  /   u1  . 

                         Si les réels   u1  - u0   et    u2  - u1    sont  égaux on peut " envisager" une suite arithmétique.

                      Sinon il est sûr que l'on aura pas une suite arithmétique.

                      De même:

                     Si les réels     u1  / u0    et   u2  /   u1  sont égaux on peut " envisager " une suite géométrique.

                     Sinon il est sûr que l'on aura pas une suite géométrique.

                       b. La suite ( u ) est-elle arithmétique ? géométrique ? quelconque ?

                    C'est l'un des trois cas.

                  c . A l'aide du web de la suite ( u ) fourni conjecturer la limite de la suite ( u ).

                       Conjecturer son sens de variation.

                     Regarder la disposition des premiers termes sur l'axe des abscisses.

               2. Etablir que la suite ( v ) définie par  vn =  un  - ( 5 / 3  )   pour tout n dans IN

                   est une suite géométrique.

                   Considérer d'abord  vn + 1   .  L'exprimer en fonction de  un + 1   puis de  un   pour revenir

                   l'exprimer en fonction de  vn   . On doit finalement obtenir une relation de la forme

                      vn + 1   = q  vn  

               3. Exprimer    vn     en fonction de n .

                      Si   q est non nul et que l'indexation commence à 0 alors on doit avoir :  

                                            vn   = v0   qn        

               4. Trouver la limite de la suite ( u ) , si elle existe.

                   ( On trouvera d'abord la limite de la suite ( v )  )

                   On va voir en classe que si q > 1  alors   

                      lim qn    = + ∞

                     n  → +  ∞

                    Regarder si le q obtenu est tel que  q > 1.

                    Dans le ca où    0 < q < 1   on va voir en classe que

                     lim qn    = 0

                     n  → +  ∞ 

 

               5. Calculer la somme    u0   +   u1   +    ............. +  u10  .

 

                   ( On calculera d'abord la somme    v0   +   v1   +    ......... +   v10    )

                     Penser que       un  =    vn   +   ( 5 / 3  ) 

                     On pourra d'abord calculer à l'aide d'une formule de cours                        

                      la somme    v0   +   v1   +    ......... +   v10    .

                     v0   +   v1   +    ......... +   vn      =   v0    ( 1 - qn + 1   ) / ( 1 - q )    si q n'est pas 1  

                     Il suffit  alors de compléter.

            EXERCICE  2

                    Soit la fonction numérique f : x  →  ( x2 + 3 x + 3 ) / ( x + 1 )

                                     

                     Soit ( C ) sa courbe dans un repère orthonormal du plan.

                    1. Donner le sens de variation de f.

                         Pour dériver on peut mettre f( x ) sous  la forme a x + b + c / ( x + 1 )

                           avec x distinct de - 1.  Cela n'est pas obligé.

                    2. Etablir que la droite D: y = x + 2 est une asymptote oblique  à ( C ) en + ∞.

                            Considérer d'abord  f( x ) - ( x + 2 ). 

                             Donner son expression.

                            Trouver la limite en + ∞ de cette différence.

                    3. Etablir que la droite D ' : x = - 1 est une asymptote verticale à ( C ).

                       Il faut trouver deux limites infinies de f   en -1-    et - 1+ .

          EXERCICE 3

                  Soit la suite numérique récurrente ( w ) définie sur IN par:

                           w0 = 2

                          wn + 1   = 2 wn  - 1    pour tout n dans IN.

                   1. Calculer les six termes suivants de la suite ( w ).   RAS

                         w1   ,   w2   ,  w3   ,  w4    ,  w5   , w6  .

                        puis   w0 - 1    ,   w1 - 1  ,   w2  - 1  ,    w3  - 1 , w4  -1  , w5  - 1  , w6  - 1 .

                   2. Question ouverte:

                       Conjecturer   wn  en fonction de n.  

                    3. Etablir la conjecture faite. (  On pourra faire une récurrence )

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