EXERCICES SUR LES SUITES 1S1 MAI 2010
EXERCICE 1
Soit la suite ( u ) définie sur IN par un = 2n / 7n + 1 pour tout n dans IN.
S'agit- il d'une suite géométrique ?
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Réponse:
Première démarche.
Soit n dans IN.
On a : un + 1 = 2n + 1 / 7n + 2 = ( 2 × 2n ) / ( 7 × 7n +1 )
c-à-d un + 1 = ( 2 / 7 ) ( 2n / 7n + 1 ) = ( 2 / 7 ) un
c-à-d un + 1 = ( 2 / 7 ) un
Conclusion: La suite ( u ) est bien une suite géométrique de raison q = 2 / 7.
Seconde démarche.
Comme 2n est non nul , la suite ( u ) est à termes non nuls.
Soit n dans IN.
Considérons:
un + 1 / un = ( 2n + 1 / 7n + 2 ) / ( 2n / 7n + 1 )
c-à-d
un + 1 / un = ( 2n + 1 / 7n + 2 ) × ( 7n + 1 / 2n )
c-à-d un + 1 / un = ( 2n + 1 × 7n + 1 ) / ( 7n + 1 +1 × 2n ) c-à-d en simplifiant par 2n et par 7n + 1 un + 1 / un = 2 / 7 Conclusion: La suite ( u ) est bien une suite géométrique de raison q = 2 / 7. Troisième démarche.
On a : u0 = 20 / 70+ 1 = 1 / 7
Soit n dans IN .
un = 2n / 7n + 1 = ( 1 / 7 ) × ( 2n / 7n )
c-à-d
un = ( 1 / 7 ) × ( 2 / 7 )n
c-à-d en posant q = 2 / 7
un = u0 × qn pour tout n dans IN.
Conclusion: La suite ( u ) est bien une suite géométrique de raison q = 2 / 7.