INFO 2 DS n° 8 12Mai 2010 1S1

INFO 2 DS n° 8 12 Mai 2010 2 heures

EXERCICE 2. 10 POINTS

1. Soit la suite ( h ) définie sur IN par :

h_n = ( n - 2 ) / ( n + 2 ) pour tout n dans IN

a. Donner le sens de variation de la suite ( h ).

Soit n dans IN.

On a : h_n = ( n - 2 ) / ( n + 2 ) = ( n + 2 - 4 ) / ( n + 2 )

c-à-d h_n = 1 - 4 / ( n + 2 )

Mais la fonction rationnelle h : x → 1 - 4 / ( x + 2 )

est croissante sur IR - { - 2 }.

En effet :

Sa fonction dérivée est h ' : x → 4 / ( x + 2 )²

et 4 / ( x + 2 )² > 0 pour tout x dans IR - { - 2 }.

Donc h' > 0 sur IR - { - 2 }.

IN est inclus dans un intervalle de IR - { - 2 }.

La restriction de h à IN est donc une suite croissante sur IN.

Conclusion: La suite ( h ) est croissante sur IN .

b. La suite ( h ) est-elle bornée par – 1 et 1 sur IN ?

OUI.

On a : h_n = 1 - 4 / ( n + 2 ) pour tout n dans IN.

Comme - 4 / ( n + 2 ) < 0 pour tout n dans IN

on peut dire que: h_n ≤ 1 pour tout n dans IN.

On a : h₀ = - 2 / 2 = - 1

La suite ( h ) est croissante sur IN.

Donc h₀ ≤ h_n pour tout n dans IN.

c-à-d - 1 ≤ h_n pour tout n dans IN.

Conclusion: La suite ( h ) est bien bornée par - 1 et 1.

c. Quelle est la limite de h_n quand n tend vers + ∞ ?

On sait que :

lim ( 4 / ( n + 2 ) ) = 4 / + ∞ = 0

n → + ∞

Donc lim ( 1 - 4 / ( n + 2 ) ) = 1 - 0 = 1

n → + ∞

Conclusion: lim h_n = 1

n → + ∞

2. Soit la suite numérique ( v ) définie par :

v_n= 5 n - 3 pour tout n dans IN.

a. La suite ( v ) est-elle arithmétique ? géométrique ? quelconque ?

Elle est arithmétique.

En effet :

Soit n dans IN.

On a : v_n= 5 n - 3

et v_{n+ 1}= 5 ( n + 1 ) - 3

-----------------------------------------

Par différence : v_{n+ 1} - v_n= 5 ( n + 1 ) - 3 - ( 5 n - 3 )

c-à-d v_{n+ 1} - v_n= 5 n + 5 - 3 - 5 n + 3

c-à-d v_{n+ 1} - v_n= 5 pour tout n dans IN.

Conclusion: La suite ( v ) est arithmétique.

b. Calculer v₁₀.

On a : v_n= 5 n - 3 pour tout n dans IN.

Posons n = 10

Il vient : v₁₀ = 5 ( 10 ) - 3 = 47

Conclusion: v₁₀ = 47

c. Calculer la somme S = v₁ + ......+ v₁₀ .

On a : v₁ = 5 - 3 = 2

Comme S = v₁ + ......+ v₁₀ = [ ( v₁ + v₁₀ ) / 2 ] ( 10 )

il vient : S = v₁ + ......+ v₁₀ = [ ( 2 + 47 ) / 2 ] ( 10 ) = 490 / 2

c-à-d S =245

Conclusion: S = 245

3. Soit la suite numérique ( w ) définie pa

w_n = 3ⁿ / 5^{n - 1} pour tout n dans IN.

a. Calculer w₀ .

On a : w₀ = 3⁰ / 5^{- 1} = 1 / 5^{- 1} = 5

Conclusion: w₀ = 5

b. Montrer que pour tout n dans IN :

w_n = w₀ qⁿ où q est un réel que l’on donnera.

On a : w_n = 3ⁿ / 5^{n - 1} pour tout n dans IN.

Donc w_n = 3ⁿ / ( 5ⁿ / 5 ) = 5 ( 3ⁿ / 5ⁿ )

c-à-d w_n = 5 ( 3 / 5 ) ⁿ

En posant q = 3 / 5

On obtient bien :

Conclusion: w_n = w₀ qⁿ pour tout n dans IN avec q = 3 / 5

c. La suite numérique ( w ) est-elle une suite géométrique ?

OUI .

w_n+1 = w₀ q^{n + 1} = w₀ qⁿ q = w_n q

c-à-d w_n+1 = q w_n pour tout n dans IN.

Conclusion: OUI

4. Soit la suite numérique ( u ) définie sur IN par :

u₀= 1

u_{n + 1} = - 3 / u_n pour tout n dans IN.

a. Trouver u₁ , u₂ , u₃ , u₄ .

u₁ = - 3 / 1 = - 3 car u₁ = - 3 / u₀

u₂ = - 3 / - 3 = 1 car u₂ = - 3 / u₁

u₃ = - 3 / 1 = - 3 car u₃ = - 3 / u₂

u₄ = - 3 / - 3 = 1 car u₄ = - 3 / u₃

etc

b. Que pouvez – vous conjecturer sans calcul

pour la valeur de u₁₀₀₀?

Il semble que quand l'indice est pair la valeur du terme soit 1.

1000 est un entier pair.

Conclusion: On peut conjecturer que u₁₀₀₀ = 1

5. Soit la suite arithmétique ( k ) définie sur IN telle que :

k₄ = 16 et k₈=36

a. Trouver son premier terme.

On a :

k₈= k₄ + ( 8 - 4 ) r = 16 + 4 r

k₀ = k₄ + ( 0 - 4 ) r = 16 - 4 r

------------------------------------------

Par sommation k₀ + k₈ = 32

c-à-d k₀ + 36 = 32

D'où k₀ = 32 - 34 = - 4

Conclusion: k₀ = - 4

b. Trouver sa raison.

On a : k₈= k₄ + ( 8 - 4 ) r

c-à-d 36 = 16 + 4 r

Donc 36 - 16 = 4 r

c-à-d 20 / 4 = r

Conclusion: r = 5

c. Déterminer k₂₀ .

k₂₀ = k₈ + ( 20 - 8 ) r

c-à-d k₂₀ = 36 + 12 ( 5 ) = 36 + 60 = 96

Conclusion: k₂₀ = 96

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