INFO 2 DV n° 7 1S 27 Mars 2010

       INFO 2               Dv n° 7        1S1   27 mars 2010 reporté au 17 Avril 2010  

                      EXERCICE 2  

                             Soit la fonction:                                      

                                                   h : x → 2 x3  -  3 x2  - 12 x + 1

                              Le plan est muni d'un repère orthogonal

                               .

                              ( Unités graphiques:   1 cm suivant l'axe des abscisses.                                                       

                                                                  0,5 cm suivant l'axe des ordonnées    )

                                     

                 1. a. Rechercher la fonction dérivée h' de h.

                         La fonction polynôme h est dérivable sur son domaine de définition IR.

                          h : x → 2 x3  -  3 x2  - 12 x + 1

                          Donc : 

                         Conclusion:   h' : x → 6 x2  -  3 x  - 12 

                     b. Etudier son signe.

                          Soit x dans IR.

                         On a :    h ' ( x ) = 6 x2  -  6 x  - 12 

                              c-à-d     h '( x ) = 6 ( x2  -   x  - 2 ) 

                             h '( x ) est du signe de  x2  -   x  - 2  pour tout réel x.

                              - 1 est une racine évidente car   1 - 2 = - 1.

                     ( La somme des coefficients de rang pair est égale à

                      la somme des coefficient des termes de rang impair )

                     L'autre est donc - c / a  = - ( - 2 ) / 1 = 2                   

                     La règle des signes d'un trinome du second dégré est utile.

                  Ainsi:              

x              -∞              -1                            2                    + ∞                              
k  '(x)        +           0           -                 0                       + 
        

                     c. En déduire le tableau de variations de la fonction h.                         

x              - ∞              - 1                           2                                          +∞                     
h '(x)           +        0       -            0                       + 
h ( x )           ↑         8         ↓          - 19                 ↑  

                  2. Construire la courbe de h.

                           

                  3 . Discuter graphiquement suivant le réel m

                       le nombre de solutions de l'équation  h( x ) = m. 

                       Envisageons la droite Dm  horizontale d' équation y = m.

                       Quand m se déplace sur l'axe des ordonnées " comme un curseur"

                       la droite horizontale Dm   peut théoriquement  rencontrer  ou ne pas rencontrer la courbe de h ,

                      Il faut discuter suivant la valeur de m.

                       Par simple lecture graphique on peut dire:      

                        Premier cas:         m > 8 ou m < - 19 

                                            La droite  hrizontale  Dm    est dans la  zone 1.

                                              Un seul point d'intersection

                        Second cas :          m = 8 ou m = - 19  

                                              Deux points d'intersection  

                       Troisième cas :                   - 19 < m < 8  

                                         La droite  horizontale  Dm    est dans la  zone 3.    

                                                 Trois points d'intersection

             

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