INFO 3 Devoir n ° 7 27 Mars 2010 reporté au 17 Avril 2010
EXERCICE 3
Le but de l'exercice est d'utiliser la dérivée seconde d'une fonction k pour obtenir
le sens de variation de la fonction k.
Soit la fonction k : x → x4 - x3 + x2 - 0,75 x + 1.
1. Trouver la fonction dérivée k ' de k.
La fonction polynôme k est dérivable sur IR.
Conclusion : k ' : x → 4 x3 - 3 x2 + 2 x - 0,75 .
2. Trouver la fonction dérivée k ' ' de la fonction k '.
La fonction polynôme k ' est dérivable sur IR.
On a : k ' ' : x → 12 x2 - 6 x + 2
Ainsi : k ' ' : x → 2 ( 6 x2 - 3 x + 1)
Conclusion : k' ' : x → 2 ( x2 - 3 x + 1 )
k ' ' s'appelle la fonction dérivée seconde de k.
3. a. Calculer k ' ( 0,5 ).
On a : k ' ( 0 , 75 ) = 4 × 0,753 - 3 × 0,75 2 + 2 × 0,75 - 0,75 = 0
Conclusion : k ' ( 0,75 ) = 0
b. Donner le signe de k ' ' .
Soit x dans IR.
k ' ' ( x ) = 2 ( 6 x2 - 3 x + 1 )
Le signe de k ' ' ( x ) est celui de 6 x2 - 3 x + 1 .
Le discriminant est : Δ
Δ = ( - 3 )² - 4 ( 6 )( 1 ) = 9 - 24 = - 15
- 15 < 0
Donc Δ < 0
Donc 6 x2 - 3 x + 1 est du signe de a = 6 pour tout réel x.
On a : k ' ' > 0 sur IR.
Conclusion : k ' ' ( x ) > 0 pour tout réel x.
En déduire le tableau de variation de k ' .
Comme on a : k ' ' > 0 sur IR
la fonction k ' est strictement croissante sur IR.
x
- ∞ + ∞
k ' '(x)
+
k '( x )
↑
4. Déterminer alors le signe de k ' .
k ' est strictement croissante sue IR et est nulle pour x = 0, 75.
Donc : k ' < 0 sur l'intervalle ] - ∞ , 0, 75 [
k ' > 0 sur l'intervalle ] 0, 75 , + ∞ [
Conclusion :
k ' < 0 sur l'intervalle ] - ∞ , 0, 75 [
k ' > 0 sur l'intervalle ] 0, 75 , + ∞ [
k ' ( 0, 75 ) = 0
5. En déduire alors le tableau de variation de la fonction k.
( La courbe de k n'est pas demandée . )
Ainsi :
x
- ∞ + ∞ 0,75
k '(x)
- 0 +
k ( x )
↓ k( 0,75 ) ↑